Sean $a$ , $b$ , $c$ , y $d$ enteros positivos distintos tales que $a^b$ divide a $b^c$ , $b^c$ divide a $c^d$ , y $c^d$ divide a $d^a$ . \n(a) ¿Es posible determinar cuál de los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ es el más pequeño? \n(b) ¿Es posible determinar cuál de los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ es el más grande?

Definición: Un número natural es abundante si la suma de sus divisores positivos es mayor que su doble. Encontrar un número abundante impar y demostrar que hay infinitos números abundantes impares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Encontrar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos que tienen sus vértices en los lados de $ABC$ .

En el planeta Marte hay $100$ estados que están en disputa. Para lograr una situación de paz, se deben formar bloques que cumplan las siguientes dos condiciones: (1) Cada bloque debe tener como máximo $50$ estados. (2) Cada par de estados debe estar junto en al menos un bloque. Encontrar el número mínimo de bloques que deben formarse.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que existe un número primo $p$ , tal que $p^n-(p-1)^n$ es una potencia de $3$ . Nota. Una potencia de $3$ es un número de la forma $3^a$ donde $a$ es un entero positivo.

Resolver en enteros no negativos la ecuación $5^t + 3^x4^y = z^2$

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x,y)$ tales que $2^x + 3^y$ es un cuadrado perfecto.

Determinar todos los enteros positivos n tales que $n^2/ (n - 1)!$

Determinar todos los conjuntos de seis enteros positivos consecutivos tales que el producto de algunos dos de ellos añadido al producto de otros dos de ellos es igual al producto de los dos números restantes.

Un punto $P$ se encuentra en el interior del triángulo $ABC$. Las líneas $AP, BP$ y $CP$ intersecan a $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que si dos de los cuadriláteros $ABDE, BCEF, CAFD, AEPF, BFPD$ y $CDPE$ son concíclicos, entonces los seis son concíclicos.