2 El círculo \(S\) tiene centro \(O\), y \(BC\) es un diámetro de \(S\). Sea \(A\) un punto de \(S\) tal que \(\angle AOB<120{{}^\circ}\). Sea \(D\) el punto medio del arco \(AB\) que no contiene a \(C\). La recta que pasa por \(O\) paralela a \(DA\) corta a la recta \(AC\) en \(I\). La mediatriz de \(OA\) corta a \(S\) en \(E\) y en \(F\). Demuestra que \(I\) es el incentro del triángulo \(CEF\).

3 Encuentra todos los pares de enteros positivos $m,n\geq3$ para los cuales existen infinitos enteros positivos $a$ tales que \[ \frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} \] es a su vez un entero. Laurentiu Panaitopol, Rumania

4 Sea $n\geq2$ un entero positivo, con divisores $1=d_1<d_2<\,\ldots<d_k=n$. Demuestra que $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k$ es siempre menor que $n^2$, y determina cuándo es un divisor de $n^2$.

5 Encuentra todas las funciones \(f\) de los reales a los reales tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para todos los reales \(x,y,z,t\).

6 Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ circunferencias unitarias en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna recta corta a más de dos de las circunferencias, demuestra que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \]

1 Dado el triángulo \(ABC\), el punto \(J\) es el centro de la excircunferencia opuesta al vértice \(A\). Esta excircunferencia es tangente al lado \(BC\) en \(M\), y a las rectas \(AB\) y \(AC\) en \(K\) y \(L\), respectivamente. Las rectas \(LM\) y \(BJ\) se cortan en \(F\), y las rectas \(KM\) y \(CJ\) se cortan en \(G\). Sea \(S\) el punto de intersección de las rectas \(AF\) y \(BC\), y sea \(T\) el punto de intersección de las rectas \(AG\) y \(BC\). Demuestra que \(M\) es el punto medio de \(ST\). (La excircunferencia de \(ABC\) opuesta al vértice \(A\) es la circunferencia que es tangente al segmento \(BC\), a la semirrecta \(AB\) más allá de \(B\), y a la semirrecta \(AC\) más allá de \(C\).) Propuesto por Evangelos Psychas, Grecia.

2 Sea \(n\ge 3\) un entero, y sean \(a_2,a_3,\ldots ,a_n\) números reales positivos tales que \(a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1\). Demuestra que \[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia

3 El juego de adivinanzas del mentiroso es un juego entre dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ que ambos jugadores conocen. Al inicio del juego, $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \le x \le N$. El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto y le dice la verdad a $B$ sobre $N$. El jugador $B$ ahora intenta obtener información sobre $x$ haciendo preguntas a $A$ de la siguiente manera: cada pregunta consiste en que $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (posiblemente uno ya especificado en una pregunta anterior) y le pregunta a $A$ si $x$ pertenece a $S$. $B$ puede hacer tantas preguntas como quiera. Después de cada pregunta, $A$ debe responder inmediatamente sí o no, pero puede mentir tantas veces como quiera; la única restricción es que, entre cualesquiera $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera. Después de que $B$ haya hecho tantas preguntas como quiera, debe especificar un conjunto $X$ de a lo más $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$, entonces $B$ gana; de lo contrario, pierde. Demuestra que: 1. Si $n \ge 2^k$, entonces $B$ puede garantizar una victoria. 2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \ge (1.99)^k$ tal que $B$ no puede garantizar una victoria. Propuesto por David Arthur, Canadá

4 Encuentra todas las funciones \(f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z\) tales que, para todos los enteros \(a,b,c\) que satisfacen \(a+b+c=0\), se cumple la siguiente igualdad: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] (Aquí \(\mathbb{Z}\) denota el conjunto de los enteros.) Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica.

72 A cada par $ (x, y)$ de elementos distintos de un conjunto finito $ X$ se le asigna un número $ f(x, y)$ igual a 0 o 1 de tal manera que $ f(x, y) \neq f(y, x)$ $ \forall x,y$ y $ x \neq y.$ Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) $ X$ es la unión de dos subconjuntos no vacíos disjuntos $ U, V$ tales que $ f(u, v) = 1$ $ \forall u \in U, v \in V.$ (ii) Los elementos de $ X$ pueden etiquetarse $ x_1, \ldots , x_n$ de modo que \[ f(x_1, x_2) = f(x_2, x_3) = \cdots = f(x_{n-1}, x_n) = f(x_n, x_1) = 1.\] Formulación alternativa: En un torneo de n participantes, cada pareja juega un partido (sin empates). Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) La liga puede particionarse en dos grupos no vacíos tales que cada jugador de uno de estos grupos ha ganado contra cada jugador del otro. (ii) Todos los participantes pueden ser clasificados del 1 al $ n$ de modo que el jugador $ i-$ t h gana el partido contra el $ (i + 1)$ s t y el jugador $ n-$ t h gana contra el primero.