1 Dados dos dominios poligonales (idénticos) en el plano euclidiano, en general no es posible superponerlos usando solamente traslaciones y rotaciones. Demuestre que esto puede lograrse, sin embargo, dividiendo uno de los dominios en un número finito de subdominios poligonales que luego encajan, mediante traslaciones y rotaciones en el plano, para reconstruir el otro dominio.

2 Sean $a$ y $n$ dos enteros mayores que $1$ . Demuestre que si $n$ divide a $(a-1)^k$ para algún entero $k\geq 2$ , entonces $n$ también divide a $a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1$ .

3 Dados dos enteros $n\geq 1$ y $q\geq 2$ , sea $A=\{(a_1,\ldots ,a_n):a_i\in\{0,\ldots ,q-1\}, i=1,\ldots ,n\}$ . Si $a=(a_1,\ldots ,a_n)$ y $b=(b_1,\ldots ,b_n)$ son dos elementos de $A$ , sea $\delta(a,b)=\#\{i:a_i\neq b_i\}$ . Sea además $t$ un entero no negativo y $B$ un subconjunto no vacío de $A$ tal que $\delta(a,b)\geq 2t+1$ , siempre que $a$ y $b$ sean elementos distintos de $B$ . Demuestre que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: a) Para cualquier $a\in A$ , existe un único $b\in B$ , tal que $\delta (a,b)\leq t$ ; b) $\displaystyle|B|\cdot \sum_{k=0}^t \binom{n}{k}(q-1)^k=q^n$

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Halle todos los polinomios mónicos $f\in \mathbb{Z}[X]$ , de grado $n$ , tales que $f(a)$ divide a $f(2a^k)$ para $a\in \mathbb{Z}$ con $f(a)\neq 0$ .

3 Dado un entero $n\geq 2$ y un disco unitario cerrado, evalúe el máximo del producto de las longitudes de todos los $\frac{n(n-1)}{2}$ segmentos determinados por $n$ puntos en ese disco.

1 El cuadrilátero $ ABCD$ está inscrito en una circunferencia que tiene a $ BD$ como diámetro. Sean $ A',B'$ los puntos simétricos de $ A,B$ con respecto a la recta $ BD$ y $ AC$ respectivamente. Si $ A'C \cap BD = P$ y $ AC\cap B'D = Q$ , entonces demuestre que $ PQ \perp AC$ Litlle

2 Demuestre que las aristas de un grafo planar simple finito (sin lazos ni aristas múltiples) pueden orientarse de tal manera que a lo sumo tres cuartos del número total de aristas de cualquier ciclo compartan la misma orientación. Además, muestre que esta es la mejor cota global posible. Comentario: El problema real en la TST pedía demostrar que las aristas pueden colorearse con $2$ colores de modo que se cumpla la misma conclusión. En esas circunstancias, el problema es erróneo y se encontró un contraejemplo en el concurso por Marius Tiba.

3 Muestre que existen infinitos pares de números primos $(p,q)$ tales que $p\mid 2^{q-1}-1$ y $q\mid 2^{p-1}-1$ .

1 Sea $ n$ un entero, $ n\geq 2$ . Halle todos los conjuntos $ A$ con $ n$ elementos enteros tales que la suma de cualquier subconjunto no vacío de $ A$ no sea divisible por $ n+1$ . Valentin

2 Sean $ a_i, b_i$ números reales positivos, $ i=1,2,\ldots,n$ , $ n\geq 2$ , tales que $ a_i<b_i$ , para todo $ i$ , y además \[ b_1+b_2+\cdots + b_n < 1 + a_1+\cdots + a_n.\] Demuestre que existe un $ c\in\mathbb R$ tal que para todo $ i=1,2,\ldots,n$ , y $ k\in\mathbb Z$ tenemos \[ (a_i+c+k)(b_i+c+k) > 0.\] Valentin