En el espacio se da un tetraedro con arista de longitud $2$ . Demuestre que las distancias desde algún punto $M$ a todos los vértices del tetraedro son números enteros si y solo si $M$ es un vértice del tetraedro. J. Tabov

Sea $0<x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$ . Demuestre que $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\ldots+\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}\ge\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\ldots+\frac{x_n}{x_{n-1}}+\frac{x_1}{x_n}$$ I. Tonov

Se da un tetraedro $ABCD$ y un plano $\alpha$ que interseca las tres aristas que pasan por $D$ . Demuestre que $\alpha$ divide la superficie del tetraedro en dos partes proporcionales a los volúmenes de los cuerpos formados si y solo si $\alpha$ pasa por el centro de la esfera inscrita del tetraedro.

C1 Un conjunto $S$ se llama vecino si tiene las siguientes dos propiedades: a) $S$ tiene exactamente cuatro elementos b) para todo elemento $x$ de $S$ , al menos uno de los números $x - 1$ o $x+1$ pertenece a $S$ . Halle el número de todos los subconjuntos vecinos del conjunto $\{1,2,... ,n\}$ .

Se da un plano con un sistema de coordenadas con origen en el punto $O$ . $A(n)$ , cuando $n$ es un número natural, es el número de puntos con coordenadas enteras cuyas distancias a $O$ son menores o iguales que $n$ . (a) Halle $$\ell=\lim_{n\to\infty}\frac{A(n)}{n^2}.$$ (b) ¿Para cuáles $\beta$ $(1<\beta<2)$ existe el siguiente límite? $$\lim_{n\to\infty}\frac{A(n)-\pi n^2}{n^\beta}$$

Halle todos los pares de números naturales $(m,n)$ mayores que $1$ para los cuales $2^m+3^n$ es el cuadrado de un número entero. I. Tonov

Sea $F$ un polígono cuyo contorno es una línea poligonal con vértices en los nudos (unidades) de una red cuadrada regular dada de antemano. Si $k$ es el número de nudos de la red situados sobre el contorno de $F$ , y $\ell$ es el número de nudos de la red situados dentro de $F$ , demuestre que si el área de cada cuadrado de la red es $1$ , entonces el área $S$ de $F$ se calcula con la fórmula: $$S=\frac k2+\ell-1$$ V. Chukanov

Sea $f(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ un polinomio con coeficientes reales ( $a_0\ne0$ ) tal que $|f(x)|\le1$ para todo $x\in[-1,1]$ . Demuestre que (a) existe una constante $c$ (una y la misma para todos los polinomios con la propiedad dada), para la cual (b) $|a_0|\le4$ . V. Petkov

En el plano se dan una circunferencia $k$ de radio $R$ y los puntos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , situados sobre $k$ o fuera de $k$ . Demuestre que existen infinitos puntos $X$ de la circunferencia dada para los cuales $$\sum_{i=1}^n A_iX^2\ge2nR^2.$$ ¿Existe un par de puntos en lados diferentes de algún diámetro, $X$ e $Y$ de $k$ , tales que $$\sum_{i=1}^n A_iX^2\ge2nR^2\text{ and }\sum_{i=1}^n A_iY^2\ge2nR^2?$$ H. Lesov

El zorro y Pinocho han hecho crecer un árbol en el campo de los milagros con $8$ monedas de oro. Se sabe que exactamente $3$ de ellas son falsas. Todas las monedas reales pesan lo mismo, las monedas falsas también pesan lo mismo pero son más livianas. El zorro y Pinocho han recogido las monedas y desean dividirlas. El zorro va a dar 3 monedas a Pinocho, pero Pinocho quiere comprobar si todas son reales. ¿Puede comprobarlo usando $2$ pesadas en una balanza de platillos sin pesas?