10 Sean $p$ y $q$ enteros. Demuestra que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que \[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\] para todo $x \in I.$ Amir

9 Sean \( a \), \( b \) y \( c \) las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestra que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determina cuándo ocurre la igualdad.

G4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\Omega.$ Sea la tangente a $\Omega$ en $D$ que corta a los rayos $BA$ y $BC$ en $E$ y $F,$ respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro de $\triangle ABC$ tal que $\overline{TE}\parallel\overline{CD}$ y $\overline{TF}\parallel\overline{AD}.$ Sea $K\ne D$ un punto del segmento $DF$ que satisface $TD=TK.$ Demuestre que las rectas $AC,DT,$ y $BK$ son concurrentes.

15 Decide si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: (i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tales que $a+b = m.$ (ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$ Amir

17 Sean \(P_1, P_2, \dots , P_n\) puntos distintos del plano, \(n \geq 2\). Demuestra que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \] Amir

13 Sea $E$ el conjunto de los $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una función de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ hay que satisfacen la siguiente propiedad: El número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$?

16 Sea $F(n)$ el conjunto de polinomios $P(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$, con $a_0, a_1, . . . , a_n \in \mathbb R$ y $0 \leq a_0 = a_n \leq a_1 = a_{n-1 } \leq \cdots \leq a_{[n/2] }= a_{[(n+1)/2]}.$ Demuestra que si $f \in F(m)$ y $g \in F(n)$, entonces $fg \in F(m + n).$ Amir

14 ¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales que $10^5$, de modo que no haya tres que sean términos consecutivos de una progresión aritmética?

18 Sean \(a,b\) y \(c\) enteros positivos, tales que no hay dos de ellos que tengan un divisor común mayor que \(1\). Demuestra que \(2abc-ab-bc-ca\) es el entero más grande que no puede expresarse en la forma \(xbc+yca+zab\), donde \(x,y,z\) son enteros no negativos.

5 Como se muestra en la figura, en el paralelogramo $ABCD$ , $I$ es el incentro de $\vartriangle BCD$ y $H$ es el ortocentro de $\vartriangle IBD$ . Demuestre que $\angle HAB=\angle HAD$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/4/3/5fa16c208ef3940443854756ae7bdb9c4272ed.png