1 En el triángulo $ABC$, demuestre que \[ a = b\cos C + c\cos B. \]

3 Para números naturales $n,m$ sea $S(n,m)$ el conjunto $\{(a_1,a_2,\dots,a_n): a_i \in \{1,2,\dots,m\}$ para $1\leqslant i \leqslant n\}$. Los índices de $a_i$, es decir $i$, se tomarán módulo $n$. Un subconjunto $T$ de $S(n,m)$ se llama omoshiroi si los conjuntos de $n-1$ tuplas definidos por $$\{(a_{i+1},a_{i+2},\dots,a_{i+n-1}): (a_1,a_2,\dots,a_n) \in T\}$$ son los mismos para todo $1\leqslant i \leqslant n$. Para un $n$ dado, sea $t(n)$ el valor más pequeño de $m > 1$ tal que $S(n,m)$ tiene un subconjunto omoshiroi de tamaño $k$ para todo $1\leqslant k \leqslant |S(n,m)|$. Encuentre el rango de $t(n)$ sobre todos los números naturales $n$. Propuesto por Siddharth Choppara

2 Sean $AD, BE, CF$ las alturas del triángulo $ABC$, con $D, E, F$ situados en las rectas $BC, CA, AB$, respectivamente. Sean $X, Y, Z$ los puntos medios de $BC, CA, AB$, respectivamente. Demuestre que siempre existe una elección de signos $+$ o $-$ tal que \[ \frac{DX}{DA} \pm \frac{EY}{EB} \pm \frac{FZ}{FC} = 0. \]

Los enteros positivos $1,2,...,n$ están escritos en una pizarra ( $n >2$ ). Cada minuto se borran dos números y se escribe el menor divisor primo de su suma. Al final, solo queda el número 97. Encuentre el menor $n$ para el cual esto es posible. Ovchinnikov

3 Dado el triángulo $ABC$, construya el paralelogramo $ABDC$. Sea $P$ cualquier punto en el plano, y denote $\angle BPC = \alpha$, $\angle PAD = \theta$. Demuestre que \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2PB \cdot PC \cos\alpha - 2PA \cdot AD \cos\theta. \]

2 Sea n un entero positivo. Sean n números reales escritos en un papel. Llamamos "transformación" a: elegir 2 números $a,b$ y reemplazar ambos por $a*b$. Encuentre todos los n para los cuales, después de un número finito de transformaciones y para cualesquiera n números reales, podemos obtener el mismo número escrito n veces en el papel.

Sean $N$ celdas elegidas en una cuadrícula rectangular. Sea $a_i$ el número de celdas elegidas en la fila $i$-ésima, y $b_j$ el número de celdas elegidas en la columna $j$-ésima. Demuestre que $$ \prod_{i} a_i! \cdot \prod_{j} b_j! \leq N! $$

2 Sea $\Gamma$ un círculo y sea $d$ una recta tal que $\Gamma$ y $d$ no tienen puntos en común. Además, sea $AB$ un diámetro del círculo $\Gamma$; suponga que este diámetro $AB$ es perpendicular a la recta $d$, y que el punto $B$ está más cerca de la recta $d$ que el punto $A$. Sea $C$ un punto arbitrario en el círculo $\Gamma$, distinto de los puntos $A$ y $B$. Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $d$. Una de las dos tangentes desde el punto $D$ al círculo $\Gamma$ toca a este círculo $\Gamma$ en un punto $E$; por lo tanto, asumimos que los puntos $B$ y $E$ yacen en el mismo semiplano con respecto a la recta $AC$. Denotamos por $F$ al punto de intersección de las rectas $BE$ y $d$. Sea la recta $AF$ que interseca al círculo $\Gamma$ en un punto $G$, distinto de $A$. Demuestre que la reflexión del punto $G$ respecto a la recta $AB$ yace sobre la recta $CF$.

2 Algunos estudiantes de matemáticas de la India e Irán se encuentran en las casillas de una cuadrícula de $n \times n$ (cada casilla puede contener varios estudiantes o ninguno). Cada estudiante calcula la fracción de estudiantes en su fila cuya nacionalidad coincide con la suya, así como la fracción de estudiantes en su columna cuya nacionalidad coincide con la suya. Cada estudiante anota la suma de los dos números que obtiene de esta manera. Demuestre que el producto de todos estos números es al menos $1$. Propuesto por Navid Safaei

$6n$ personas juegan ajedrez en una ronda. Encuentre el número mínimo de rondas en las cuales el número de victorias y los puntos obtenidos por los jugadores están en orden inverso (una ronda es una ronda en la que cada jugador juega exactamente una vez con todos los demás, y el ganador obtiene $1$ punto, el perdedor obtiene $0$ puntos y el jugador que empata obtiene $0.5$ puntos).