1 El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ se elige de tal manera que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. El punto $E$ se elige de tal manera que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD, FX$ y $ME$ son concurrentes.

5 En el triángulo $ABC$ suponga que $5\angle BAC = 3\angle ABC$. Sean $BC = a$, $AB = c$ y $AC = b$. Demuestre que $$(b^2 - a^2)^2 b^2 c^2 = a b c^2\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr) +\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr)^2. $$

3 Sea $T$ un triángulo no isósceles y $n \ge 4$ un entero. Demuestre que se puede dividir $T$ en $n$ triángulos y trazar en cada uno de ellos una bisectriz interior de tal manera que esas $n$ bisectrices sean paralelas.

4 Una calculadora puede elevar un número al cuadrado o sumarle $1$. No puede sumar $1$ dos veces seguidas. Mediante varias operaciones, transformó un número $x$ en un número $S > x^n + 1$ ($x, n, S$ son enteros positivos). Demuestre que $S > x^n + x - 1$.

4 Considere la sucesión $(a_n)_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3,4,5,6\}$, y para $n \ge 7$: $$a_n={\lfloor}\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}{\rfloor}$$ donde ${\lfloor}x{\rfloor}$ es el mayor entero menor o igual a $x$. Por ejemplo: ${\lfloor}2.4{\rfloor} = 2, {\lfloor}3{\rfloor} = 3$ y ${\lfloor}\pi {\rfloor}= 3$. Para todo entero $n \ge 2$, sea $S_n = \{a_1,a_2,...,a_n\} - \{r_n\}$ donde $r_n$ es el resto cuando $a_1 + a_2 + ... + a_n$ se divide por $3$. El signo menos $-$ denota la notación de "eliminarlo si está presente". Por ejemplo: $S_4 = \{2,3,4\}$ porque $r_4= 1$, por lo que $1$ se elimina de $\{1,2,3,4\}$. Sin embargo, $S_5 = \{1,2,3,4,5\}$ porque $r_5 = 0$ y $0$ no está en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$. 1. Determine $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$. 2. Decimos que un conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ está bien equilibrado si puede particionarse en tres subconjuntos disjuntos dos a dos con igual suma. Por ejemplo: $S_6 = \{1,2,3,4,5,6\} = \{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ y $1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4$. Demuestre que $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$ están bien equilibrados. 3. ¿Está el conjunto $S_{2019}$ bien equilibrado? Justifique su respuesta.

3 Sea $M$ un conjunto no vacío de enteros positivos y sea $S_M$ la suma de todos los elementos de $M$. Definimos el tlacoyo de $M$ como la suma de los dígitos de $S_M$. Por ejemplo, si $M=\{2,7,34\}$, entonces $S_M=2+7+34=43$ y el tlacoyo del conjunto $M$ es $4+3=7$. Demuestre que para todo entero positivo $n$, existe un conjunto $M$ de $n$ enteros positivos distintos, tal que todos sus subconjuntos no vacíos tienen el mismo tlacoyo.

3 El plano de una galería de arte es una figura cuadriculada donde cada cuadrado es una habitación, y se puede llegar de cualquier habitación a otra moviéndose a habitaciones adyacentes. Un vigilante en una habitación puede observar todas las habitaciones a las que se puede llegar desde esta habitación mediante un movimiento de una reina de ajedrez (sin salir de la galería). ¿Cuál es el número mínimo de vigilantes que es suficiente para observar todas las habitaciones en cualquier galería de $n$ habitaciones ($n > 2$)?

2 Encuentre todos los primos $p$ tales que $p^2-p+1$ sea un cubo perfecto.

3 Se dan cuatro puntos en el plano, no todos situados sobre una misma línea recta. ¿Es posible que, para cada elección de tres de estos puntos que forman un triángulo, la mediana, la bisectriz y la altura trazadas desde tres vértices diferentes del triángulo se corten todas en un único punto?

2019.7 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB = 2 \angle ABC$. Suponga que existe un punto $D$ en el interior del triángulo $ABC$ tal que $AD = BD$ y $CD = AC$. Demuestre que $\angle ACB = 3 \angle DCB$.