3 Para números naturales $n,m$ sea $S(n,m)$ el conjunto $\{(a_1,a_2,\dots,a_n): a_i \in \{1,2,\dots,m\}$ para $1\leqslant i \leqslant n\}$. Los índices de $a_i$, es decir $i$, se tomarán módulo $n$. Un subconjunto $T$ de $S(n,m)$ se llama omoshiroi si los conjuntos de $n-1$ tuplas definidos por $$\{(a_{i+1},a_{i+2},\dots,a_{i+n-1}): (a_1,a_2,\dots,a_n) \in T\}$$ son los mismos para todo $1\leqslant i \leqslant n$. Para un $n$ dado, sea $t(n)$ el valor más pequeño de $m > 1$ tal que $S(n,m)$ tiene un subconjunto omoshiroi de tamaño $k$ para todo $1\leqslant k \leqslant |S(n,m)|$. Encuentre el rango de $t(n)$ sobre todos los números naturales $n$. Propuesto por Siddharth Choppara

3 Sea $\mathcal S$ el conjunto de puntos dentro o en el borde de un triángulo $ABC$, sin un punto fijo $T$ dentro del triángulo. Demuestre que $\mathcal S$ puede ser particionado en segmentos cerrados disjuntos. Yugoslavia Valentin

2 Para todos los números reales positivos $ a,b,c$ , demuestre que \[ \frac {a}{b + c} + \frac {b}{c + a} + \frac {c}{a + b} \geq \frac {3}{2}.\]

1 Las longitudes de los lados de un triángulo son las raíces de un polinomio cúbico con coeficientes racionales. Demuestre que las alturas de este triángulo son raíces de un polinomio de sexto grado con coeficientes racionales.

1 Encuentre todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $a^2+b^2-c^2$ divide a $P(a)+P(b)-P(c)$, para todos los enteros $a,b,c$.

2 Sean $AD, BE, CF$ las alturas del triángulo $ABC$, con $D, E, F$ situados en las rectas $BC, CA, AB$, respectivamente. Sean $X, Y, Z$ los puntos medios de $BC, CA, AB$, respectivamente. Demuestre que siempre existe una elección de signos $+$ o $-$ tal que \[ \frac{DX}{DA} \pm \frac{EY}{EB} \pm \frac{FZ}{FC} = 0. \]

5 igual que los juniors

1 Tres enteros distintos $a, b, c$ forman una sucesión aritmética. Los mismos números (posiblemente en un orden diferente) también forman una sucesión geométrica. Demuestre que $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ es divisible por $21$.

Los enteros positivos $1,2,...,n$ están escritos en una pizarra ( $n >2$ ). Cada minuto se borran dos números y se escribe el menor divisor primo de su suma. Al final, solo queda el número 97. Encuentre el menor $n$ para el cual esto es posible. Ovchinnikov

3 Dado el triángulo $ABC$, construya el paralelogramo $ABDC$. Sea $P$ cualquier punto en el plano, y denote $\angle BPC = \alpha$, $\angle PAD = \theta$. Demuestre que \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2PB \cdot PC \cos\alpha - 2PA \cdot AD \cos\theta. \]