2 Si $a_1$, $a_2$ y $a_3$ son números reales no negativos para los cuales $a_1+a_2+a_3=1$, entonces demuestre la desigualdad $a_1\sqrt{a_2}+a_2\sqrt{a_3}+a_3\sqrt{a_1}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Un cuadrado de $ (n - 1) \times (n - 1)$ se divide en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentre el número de coloraciones diferentes tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice está coloreado de manera distinta en los dos esquemas).

6 Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que el número $(4 \cdot k^2 - 1)^2$ tiene un divisor positivo de la forma $8kn - 1$ si y solo si $k$ es par. Problema real de la IMO 2007, planteado como la pregunta 5 en el concurso, el cual fue utilizado como lema en las soluciones oficiales para el problema N6 como se muestra arriba. Autor: Kevin Buzzard y Edward Crane, Reino Unido

2 En cada vértice de un $n$-gono regular se coloca exactamente una ficha. En cada paso se pueden intercambiar dos fichas adyacentes cualesquiera. Encuentre el número mínimo de pasos necesarios para alcanzar la disposición en la que cada ficha se desplaza $[\frac{n}{2}]$ posiciones en sentido horario desde su posición inicial. Ovchinnikov

3 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario ($AB \neq BC \neq AC \neq AB$) y sean $O, I, H$ su circuncentro, incentro y ortocentro (punto de intersección de las alturas), respectivamente. Demuestre que: 1) $\angle OIH > 90^0$ (2 puntos), 2) $\angle OIH > 135^0$ (7 puntos). Los puntos para 1) y 2) no son aditivos. Ovchinnikov

2 Demuestre que existe una sucesión infinita estrictamente creciente de números naturales tal que $\forall k \in \mathbb{N}$, tanto $a_k a_{k+1}+1$ como $a_k+1$ son cuadrados.

Manzi tiene $n$ sellos y un álbum con $10$ páginas. Él distribuye los $n$ sellos en el álbum de tal manera que cada página tiene un número distinto de sellos. Él descubre que, sin importar cómo lo haga, siempre existe un conjunto de $4$ páginas tal que el número total de sellos en estas $4$ páginas es al menos $\frac{n}{2}$. Determine el valor máximo posible de $n$.

3 Considere una sucesión de números reales definida por: \begin{align*} x_{1} & = c \\ x_{n+1} & = cx_{n} + \sqrt{c^{2} - 1}\sqrt{x_{n}^{2} - 1} \quad \text{para todo } n \geq 1. \end{align*} Demuestre que si $c$ es un entero positivo, entonces $x_{n}$ es un entero para todo $n \geq 1$. (Sudáfrica)

4 Los círculos $\omega$ y $\omega_1$ son tangentes en el punto $D$. Los lados $AC$ y $AB$ son tangentes al círculo $\omega_1$. Demuestre que la recta que contiene la bisectriz del ángulo $\measuredangle CDB$ pasa por el centro del $A$-excirculo del triángulo $ABC$ (que es tangente al lado $CB$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/5/3/387a0358fd3d3fa30aaf5386d1dab62f7a0c90.png

9 En el plano, considere un punto $ X$ y un polígono $ \mathcal{F}$ (que no es necesariamente convexo). Sea $ p$ el perímetro de $ \mathcal{F}$, sea $ d$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los vértices de $ \mathcal{F}$, y sea $ h$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los lados de $ \mathcal{F}$. Demuestre que $ d^2 - h^2\geq\frac {p^2}{4}.$