2 Sean $A', B', C'$ las proyecciones de un punto $M$ dentro de un triángulo $ABC$ sobre los lados $BC, CA, AB$, respectivamente. Defina $p(M ) = \frac{MA'\cdot MB'\cdot MC'}{MA \cdot MB \cdot MC}$. Encuentre la posición del punto $M$ que maximiza $p(M )$. N.T.TUAN

6 Sean $a,b,c$ números positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestre que $(1+a)\sqrt{\frac{1-a}{a}}+(1+b)\sqrt{\frac{1-b}{b}}+(1+c)\sqrt{\frac{1-c}{c}}\ge{\frac{{3}\sqrt{3}}{4}}{\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}}}$ Litlle

6 Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que el número $(4 \cdot k^2 - 1)^2$ tiene un divisor positivo de la forma $8kn - 1$ si y solo si $k$ es par. Problema real de la IMO 2007, planteado como la pregunta 5 en el concurso, el cual fue utilizado como lema en las soluciones oficiales para el problema N6 como se muestra arriba. Autor: Kevin Buzzard y Edward Crane, Reino Unido

8 Dado un entero positivo $n \geq 2$. Sean $a_{ij}$ $(1 \leq i,j \leq n)$ $n^2$ números reales no negativos cuya suma es $1$. Para $1\leq i \leq n$, defina $R_i=max_{1\leq k \leq n}(a_{ik})$. Para $1\leq j \leq n$, defina $C_j=min_{1\leq k \leq n}(a_{kj})$. Encuentre el valor máximo de $C_1C_2 \cdots C_n(R_1+R_2+ \cdots +R_n)$.

3 Sea $ X$ un conjunto de 10,000 enteros, ninguno de los cuales es divisible por 47. Demuestre que existe un subconjunto $ Y$ de $ X$ de 2007 elementos tal que $ a - b + c - d + e$ no es divisible por 47 para cualesquiera $ a,b,c,d,e \in Y.$ Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos

6 Demuestre que $\lfloor{\sqrt{9n+7}}\rfloor=\lfloor{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\rfloor$ para todo entero positivo $n$.

3 Sea $ABC$ un triángulo y sobre sus lados dibujamos, externamente, los cuadrados $BADE$, $CBFG$ y $ACHI$. Determine la mayor constante real positiva $k$ tal que, para cualquier triángulo $\triangle ABC$, la siguiente desigualdad sea verdadera: $[DEFGHI]\geq k\cdot [ABC]$. Nota: $[X]$ denota el área del polígono $X$.

5 ¿De cuántas maneras podemos llenar las celdas de una cuadrícula de $4\times4$ de tal manera que cada celda contenga exactamente un entero positivo y el producto de los números en cada fila y en cada columna sea $2020$?

1 En cierto país, las monedas tienen los siguientes valores: $2^0, 2^1, 2^2,\dots 2^{10}$. Un cajero automático tiene $1000$ monedas de cada valor y entrega el dinero usando cada moneda (de cada valor) a lo sumo una vez. Los clientes piden todos los enteros positivos: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ (en este orden) en monedas. a) Determine el primer entero tal que el cajero automático no puede proporcionarlo. b) En el momento en que el primer cliente no puede ser atendido, por falta de monedas, ¿cuáles son las monedas que no están disponibles en el cajero automático?

2 a) Encuentre el par(es) de enteros $(x,y)$ tal que: $y^2=x^3+2017$ b) Demuestre que no existen enteros $x$ e $y$, con $y$ no divisible por $3$, tales que: $y^2=x^3-2017$