Sea $n$ un entero positivo par. Demuestra que existe una permutación $\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ de $\left(1,\,2,\,\ldots,n\right)$ tal que para cada $i\in\left\{1,\ 2,\ ...,\ n\right\}$, el número $x_{i+1}$ es uno de los números $2x_{i}$, $2x_{i}-1$, $2x_{i}-n$, $2x_{i}-n-1$. Aquí usamos la convención de subíndices cíclicos, de modo que $x_{n+1}$ significa $x_{1}$.

7 Entre un grupo de 120 personas, algunos pares son amigos. Un cuarteto débil es un conjunto de cuatro personas que contiene exactamente un par de amigos. ¿Cuál es el número máximo posible de cuartetos débiles?

1 Sea $A_1$ el centro del cuadrado inscrito en el triángulo acutángulo $ABC$ con dos vértices del cuadrado sobre el lado $BC$. Así, uno de los dos vértices restantes del cuadrado está sobre el lado $AB$ y el otro sobre $AC$. Los puntos $B_1,\ C_1$ se definen de manera similar para los cuadrados inscritos con dos vértices sobre los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que las rectas $AA_1,\ BB_1,\ CC_1$ son concurrentes.

5 Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $K$, $L$ y $M$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $ABC$ con $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. La recta $t$ pasa por $B$ y es paralela a $KL$. Las rectas $MK$ y $ML$ intersecan a $t$ en los puntos $R$ y $S$. Demuestra que $\angle RIS$ es agudo.

6 Determina el menor valor posible de \(f(1998)\), donde \(f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}\) es una función tal que para todos \(m,n\in {\Bbb N}\), \[f\left( n^{2}f(m)\right) =m\left( f(n)\right) ^{2}.\]

4 Determina todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible por $xy^{2}+y+7$.

2 En un concurso, hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada candidato es evaluado por cada juez como aprobado o reprobado. Supón que cada par de jueces coincide en a lo más $k$ candidatos. Demuestra que \[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}. \]

3 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$. Determina, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ sea mínimo, y expresa este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$.

1 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. Las mediatrices de los lados $AB$ y $CD$ se cortan en un único punto $P$ dentro de $ABCD$. Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen áreas iguales.

48 Un cuadrilátero bicéntrico es aquel que puede a la vez inscribirse en un círculo y circunscribirse a un círculo, es decir, para el cual existen tanto el incírculo como el circuncírculo. Demuestre que para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales.