086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

237 a) Dado un círculo con dos triángulos inscritos $T_1$ y $T_2$. Los vértices de $T_1$ son los puntos medios de los arcos cuyos extremos son los vértices de $T_2$. Considere un hexágono, la intersección de $T_1$ y $T_2$. Demuestre que sus diagonales principales son paralelas a los lados de $T_1$ y que se cortan en un mismo punto. b) El segmento que conecta los puntos medios de los arcos $AB$ y $AC$ del círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$, corta a los lados $[AB]$ y $[AC]$ en los puntos $D$ y $K$. Demuestre que los puntos $A, D, K$ y $O$ —el centro del círculo— son los vértices de un rombo.

221 Una fila de $1000$ números está escrita en la pizarra. Escribimos una nueva fila, debajo de la primera, de acuerdo con la siguiente regla: escribimos debajo de cada número $a$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $a$ en la primera fila. Luego escribimos la tercera fila: debajo de cada número $b$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $b$ en la segunda fila, y así sucesivamente. a) Demuestre que existe una fila que coincide con la precedente. b) Demuestre que la undécima fila coincide con la duodécima. c) Dé un ejemplo de una fila inicial tal que la décima fila sea diferente de la undécima.

255 Dado un conjunto finito $K_0$ de puntos (en el plano o en el espacio). La sucesión de conjuntos $K_1, K_2, ... , K_n, ...$ se construye de acuerdo con la siguiente regla: tomamos todos los puntos de $K_i$, añadimos todos los puntos simétricos con respecto a todos sus puntos y, de este modo, obtenemos $K_{i+1}$. a) Sea $K_0$ un conjunto que consiste en dos puntos $A$ y $B$ con una distancia de $1$ unidad entre ellos. ¿Para qué $n$ el conjunto $K_n$ contiene el punto que está a $1000$ unidades de distancia de $A$? b) Sea $K_0$ un conjunto que consiste en tres puntos que son los vértices de un triángulo equilátero con lado unidad. Encuentre el área del polígono convexo mínimo que contiene a $K_n$. $K_0$ a continuación es el conjunto de los vértices de un tetraedro de volumen unidad. c) ¿Cuántas caras contiene el poliedro convexo mínimo que contiene a $K_1$? d) ¿Cuál es el volumen del poliedro mencionado anteriormente? e) ¿Cuál es el volumen del poliedro convexo mínimo que contiene a $K_n$?

146 a) Un juego para dos. El primer jugador escribe dos filas de diez números cada una, la segunda debajo de la primera. Debe cumplir la siguiente propiedad: si el número $b$ está escrito debajo de $a$, y $d$ debajo de $c$, entonces $a + d = b + c$. El segundo jugador debe determinar todos los números. Se le permite hacer preguntas como "¿Qué número está escrito en la posición $x$ de la fila $y$?". ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que debe hacer el segundo jugador antes de descubrir todos los números? b) Había una tabla $m\times n$ en la pizarra con la propiedad: si usted elige dos filas y dos columnas, entonces la suma de los números en los dos vértices opuestos de los rectángulos formados por esas líneas es igual a la suma de los números en los otros dos vértices. Algunos de los números han sido borrados, pero todavía es posible restaurar toda la tabla. ¿Cuál es el número mínimo posible de números restantes?

075 a) Los alumnos de octavo grado están formados en una fila. Delante de cada uno hay un alumno de séptimo grado, y este es más bajo (en estatura) que el mayor. Demuestre que si se ordenan los alumnos en cada una de las filas con respecto a su estatura, cada alumno de octavo grado seguirá siendo más alto que el alumno de séptimo grado que está delante de él. b) Los soldados de un destacamento de infantería están formados en un rectángulo, dispuestos en columnas con respecto a su estatura. Demuestre que si se reordenan con respecto a su estatura en cada fila por separado, seguirán estando ordenados con respecto a su estatura en las columnas.

117 Dada una sucesión finita de ceros y unos, que posee dos propiedades: a) si en algún lugar arbitrario de la sucesión seleccionamos cinco dígitos consecutivos y también seleccionamos cinco dígitos en cualquier otro lugar consecutivo, entonces estos grupos de cinco serán diferentes (pueden solaparse); b) si se añade cualquier dígito a la derecha de la sucesión, entonces la propiedad (a) dejará de cumplirse. Demuestre que los primeros cuatro dígitos de nuestra sucesión coinciden con los últimos cuatro.

131 ¿Cuántos lados de un polígono convexo pueden ser iguales a su diagonal más larga?

Algunos estudiantes de la facultad hablan varios idiomas y otros solo ruso. $50$ de ellos saben inglés, $50$ francés y $50$ español. Demuestre que es posible dividirlos en $5$ grupos, no necesariamente iguales, para obtener $10$ de ellos que sepan inglés, $10$ francés y $10$ español en cada grupo.

096 Se dibuja una circunferencia de radio $100$ cm sobre papel cuadriculado con cuadrados de lado $1$ cm. Esta no pasa por los vértices de los cuadrados ni toca las líneas. ¿Por cuántos cuadrados puede pasar?