146 a) Un juego para dos. El primer jugador escribe dos filas de diez números cada una, la segunda debajo de la primera. Debe cumplir la siguiente propiedad: si el número $b$ está escrito debajo de $a$, y $d$ debajo de $c$, entonces $a + d = b + c$. El segundo jugador debe determinar todos los números. Se le permite hacer preguntas como "¿Qué número está escrito en la posición $x$ de la fila $y$?". ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que debe hacer el segundo jugador antes de descubrir todos los números? b) Había una tabla $m\times n$ en la pizarra con la propiedad: si usted elige dos filas y dos columnas, entonces la suma de los números en los dos vértices opuestos de los rectángulos formados por esas líneas es igual a la suma de los números en los otros dos vértices. Algunos de los números han sido borrados, pero todavía es posible restaurar toda la tabla. ¿Cuál es el número mínimo posible de números restantes?

192 Dados dos círculos con radios $R$ y $r$, que se tocan entre sí por el lado exterior. Considere todos los trapecios tales que sus lados laterales toquen ambos círculos y sus bases toquen círculos diferentes. Encuentre el lado lateral más corto posible.

174 Catorce monedas son presentadas ante un juez. Un experto sabe que las monedas del número uno al siete son falsas, y del $8$ al $14$ son normales. El juez solo está seguro de que todas las monedas verdaderas tienen el mismo peso y todas las monedas falsas tienen pesos iguales entre sí, pero menores que el peso de las monedas verdaderas. El experto tiene una balanza de platillos sin pesas. a) El experto quiere demostrar que las monedas $1--7$ son falsas. ¿Cómo puede hacerlo en tres pesadas? b) ¿Cómo puede demostrar que las monedas $1--7$ son falsas y las monedas $8--14$ son verdaderas en tres pesadas?

373 Dados dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ en el plano. (Los vértices se mencionan en sentido antihorario.) Dibujamos vectores $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$, desde un punto arbitrario $O$, iguales a $\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{B_1B_2}, \overrightarrow{C_1C_2}$ respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

252 Sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt n$. Encuentre la suma $$1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_{1980}$$

307 La tabla rectangular tiene cuatro filas. La primera contiene números naturales arbitrarios (algunos de ellos pueden ser iguales). Las filas consecutivas se completan de acuerdo con la siguiente regla: observamos la fila anterior de izquierda a derecha hasta un cierto número $n$ y escribimos el número $k$ si $n$ apareció $k$ veces. Demuestre que la segunda fila coincide con la cuarta.

074 ¿Pueden tanto $(x^2+y)$ como $(y^2+x)$ ser cuadrados perfectos para $x$ e $y$ naturales?

271 Cada miembro de cierto parlamento tiene no más de $3$ enemigos. Demuestre que es posible dividirlo en dos subparlamentos de tal manera que cada uno tenga no más de un enemigo en su propio subparlamento. ($A$ es enemigo de $B$ si y solo si $B$ es enemigo de $A$.)

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

223 Los números naturales $x_1$ y $x_2$ son menores que $1000$. Construimos una sucesión: $$x_3 = |x_1 - x_2|$$ $$x_4 = min \{ |x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_2 - x_3|\}$$ $$...$$ $$x_k = min \{ |x_i - x_j|, 0 <i < j < k\}$$ $$...$$ Demuestre que $x_{21} = 0$.