306 Sea un número natural que tiene la propiedad $P(k)$ si puede representarse como un producto de $k$ números naturales consecutivos mayores que $1$. a) Encuentre $k$ tal que exista $n$ que tenga las propiedades $P(k)$ y $P(k+2)$ simultáneamente. b) Demuestre que no existe ningún número que tenga las propiedades $P(2)$ y $P(4)$ simultáneamente.

304 Dos tableros de ajedrez iguales ($8\times 8$) tienen el mismo centro, pero uno está rotado $45$ grados con respecto al otro. Encuentre el área total de la intersección de los campos negros, si los campos tienen lados de longitud unitaria.

328 Cada término, a partir del tercero, de dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ es igual a la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son: $a_1 = 1, a_2 = 2, b_1 = 2, b_2 = 1$. ¿Cuántos números naturales se encuentran en ambas sucesiones (pueden estar en diferentes posiciones)?

Tres discos se tocan dos a dos desde el exterior en los puntos $X, Y, Z$. Luego, los radios de los discos se expandieron $2/\sqrt3$ veces, y los centros se mantuvieron. Demuestre que el triángulo $XYZ$ está completamente cubierto por los discos expandidos.

270 Un saltamontes está saltando en el ángulo $x\ge 0, y\ge 0$ del plano de coordenadas (esto significa que no puede aterrizar en un punto con coordenada negativa). Si está en el punto $(x,y)$, puede saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$. Dibuje el conjunto de tales puntos iniciales $(x,y)$ de modo que, habiendo comenzado desde allí, un saltamontes no pueda alcanzar ningún punto a una distancia mayor que $1000$ del punto $(0,0)$. Encuentre su área.

285 El lado vertical de un cuadrado se divide en $n$ segmentos. La suma de los segmentos con longitudes de números pares es igual a la suma de los segmentos con longitudes de números impares. Se trazan $n-1$ líneas paralelas a los lados horizontales desde los extremos de los segmentos y, de este modo, se obtienen $n$ franjas. Se traza la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Esta diagonal divide cada franja en partes izquierda y derecha. Demuestre que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las franjas impares es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las franjas pares.

372 Demuestre que para todo $a$ y $b$ positivos se cumple la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{2} + \frac{a+b}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$$

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

466 Dada una sucesión de $19$ enteros positivos que no exceden $88$ y otra sucesión de $88$ enteros positivos que no exceden $19$. Demuestre que podemos encontrar dos subsecuencias de términos consecutivos, una de cada sucesión, con la misma suma.

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.