En un triangulo acutangulo $ABC$, sean $D$ el punto medio de $BC$ y $P$ un punto en el segmento $AD$. Las busectrices de los angulos $ABP$ y $ACP$ se intersecan en $Q$, Supon que $BQ$ es perpendicular a $QC$. Demuestra que $Q$ esta sobre el segmento $AP$.

La configuración:\nSea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo, $A'$ el diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, $H$ su ortocentro, $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ respectivamente, $H'$ la reflexión de $H$ por $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $\omega$ el círculo de diámetro $AH$, $Q \neq A$ la intersección de $\omega$ con $\Gamma$, $P$ la intersección de $AM$ con $\omega$, y $X$ la intersección de $EF$ con $BC$. \nNota: Conviene trabajar con un triángulo $ABC$ acutángulo para fines de este documento, pero la configuración tiene las mismas propiedades sin importar la forma del triángulo. Para triángulos isósceles muchos puntos se juntan. Por ejemplo, $A=Q$, $H=P$. Otros puntos como $X$, son puntos al infinito.\n\nColinealidades y concurrencias \n- $A', M, H, Q$ son colineales \n- $P, H, X$ son colineales \n- $A, Q, X$ son colineales \n- $PH, BC, EF, AQ$ concurren en $X$ \n\nCirculos:\n- $A, F, P, H, E, Q$ son concíclicos ($\omega$) \n- $B, F, E, C$ son concíclicos (con centro $M$) \n- $B, P, H, C$ son concíclicos \n- $B, F, Q, X$ son concíclicos (¿cuál es el análogo de esto con $C$ en lugar de $B$?) \n- $P, H, D, M$ son concíclicos \n- $A, P, D, X$ son concíclicos \n- $Q, H, D, X$ son concíclicos \n- $B, P, E, X$ son concíclicos \n- $C, P, F, X$ son concíclicos \n- $H' \in \Gamma$ \n- $F, E, M, D, K$ son concíclicos si $K$ es el punto medio de $AH$ (circunferencia de los nueve puntos de $ABC$) \n- $X$ es el centro radical de $\Gamma, \omega$ y la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ \n- $ME$ y $MF$ son tangentes a $\omega$ \n- La reflexión del circuncírculo de $BHC$ tanto por $M$ como por $BC$ es $\Gamma$. Por lo tanto, dicho círculo y $\Gamma$ tienen el mismo radio. \n- Las reflexiones de $P$ por $M$ y por $BC$ caen en $\Gamma$ \n- $P, D, K, Q$ es cíclico (ver en la sección ""ángulos"" que es la circunferencia de los nueve puntos de $AMX$)\n\nÁngulos \n- $HP$ es perpendicular a $AM$ ($HX$ es perpendicular a $AM$) \n- $AQ$ es perpendicular a $QH$ \n- $A'H'$ es paralela a $BC$ \n- $H$ es el ortocentro del triángulo $AMX$\n\nSimetría:\nEn esta sección mi objetivo es mostrar que $P$ y $Q$, los puntos más importantes de la configuración, son de alguna manera análogos de la misma forma en la que $B$ y $C$ lo son.\n- Si $B$ y $C$ intercambian roles, entonces $E, F$ intercambian roles y el resto del dibujo queda igual \n- Si $A, H$ intercambian roles, entonces $E, F$ y $P, Q$ intercambian roles. El resto del dibujo queda igual. Además, $\omega$ es el mismo círculo

Te tiene un tablero de ajedrez de $8\times 8$ y se eliminan dos de sus esquinas opuestas. Se dispone de una cantidad suficiente de dominos de $2\times 1$, tales que cada domino cubre exactamente $2$ cuadros del tablero de ajedrez. Determina si es posible cubrir el nuevo tablero sin esquinas opuestas con dominos de manera que estos no se traslapen ni salgan del tablero.

Sean $a$ y $b$ dos numeros, entonces los siguientes se cumplen: $(i)$ $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ ab^{n-2}+b^{n-1})$ $(ii)$ si $n$ es impar, $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$ $(iii)$ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $(iv)$ $a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2-2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)$ $(v)$ $a^4+a^2+1=(a^2-a+1)(a^2+a+1)$ $(vi)$ $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc.$

Cuando tienes un polinomio con coeficiente enteros $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ y dos enteros $a,b$ entonces $a-b\mid P(a)-P(b)$.

Sea $ABC$ un triangulo, y sean $AD,BE$ y $CF$ tres cevianas que concurren. Sea $EF\cap BC=P$ entonces $(PD;BC)=-1$.

Al tener un problema de modulos, especialmente uno con productos o con exponentes. Puede ser mas util usar raices primitivas para replantear el problema. Si un problema pide encontrar cuando $p|a^3+1$, usando una raiz primitiva $r$ podemos replantear como $a=r^k$ y entonces $p|r^3k+1$ y sabemos que $r^3k=1$ si y solo si $3k\equiv \frac{p-1}{2} \text{ mod } p-1$. Por lo que $3\mid p-1$ y $k=\frac{p-1}{6}, \frac{p-1}{2}, \frac{5(p-1)}{6}$, o $a\equiv -1 \text{ mod } p$.