Se ponen $100$ hormigas en un circulo. Las hormigas pueden moverse en el sentido de las manecillas o en contra, pero todos van a la misma velocidad. Cuando dos hormigas se encuentran, ambas se dan la vuelta y continuan caminando en la direccion opuesta. Habra algun momento donde todas las hormigas regresen a sus posiciones iniciales al mismo tiempo?

En algunos problemas ya sean de juegos o problemas dinamicos, hay ocasiones donde el problema te dice que algo cambia, como fichas. Pero en ocasiones, como las fichas son indistinguibles entre si, no tienes que hacer el cambio que te dicen. El siguiente problema es un ejemplo de un problema que puede parecer complicado porque hay muchas cosas que observar, pero al no hacer todos los cambios que el problema dice se vuelve mucho mas simple. En una linea de $100$ cm de distancia se van a poner $100$ hormigas. Algunas de las hormigas irán de izquierda a derecha en la linea y otras de derecha a izquierda. Todas las hormigas van avanzado con velocidad de 1cm por segundo. Si durante su camino chocan con otra hormiga que va en la dirección opuesta, las dos se dan la vuelta y continuan caminando a la misma velocidad. Cuanto es el mayor tiempo que puede durar una hormiga caminando, en cualquiera de las posiciones y direcciones que pueden tener las $100$ hormigas?

Cuando tenemos un problema con una situacion que cambia, puede ser un tablero, fichas o algo del estilo, buscamos entender como es que cambia. Por ahora digamos que estamos trabajando en un tablero, pero puede ser cualquier objeto que tenga "estados" distintos. Una invarianza es algo que no cambia no importa como cambie tu tablero. Un ejemplo usual de invarianzas son congruencias o paridad de alguna de las cosas que cambian. Imaginemos que el problema es de un tablero de ajedrez (de $8\times 8$ donde podemos elegir 2 cuadraditos pegados y cambiar su color. Cambiar el blanco a negro y el negro a blanco. Si iniciamos con la coloracion de ajedrez podemos llegar a un solo cuadraro negro en una esquina? La respuesta es que no pues la invarianza es la paridad del numero de cuadrados negros nunca cambia. Si cambiamos dos cuadrados blancos, añadimos dos cuadrados negros, si cambiamos dos negros quitamos 2 negros, y si es 1 y 1, entonces se mantiene el numero de negros. No importa que hagamos el numero de cuadrados negros siempre es par y no podemos terminar con solo un cuadrado negro en una esquina. Una monovarianza es algo parecido a la invarianza pero en lugar de que algo se mantenga, sabemos que siempre cambia de la misma manera. Un ejemplo es el siguiente juego con un monton de $n$ piedras. Los jugadores $A$ y $B$ van a jugar, empezando por $A$ y lo que pueden hacer en cada turno es tomar un monton de piedras y separarlo en $2$ montones de cualquier tamaño con almenos $1$ piedra cada uno. El primer jugador que ya no pueda mover pierde. Si empiezan con un solo monton de $n$, para que valores de $n$ gana $A$ y para cuales gana $B$? Aqui lo que obsrvamos son 2 cosas. Mientras que un monton tenga mas de $1$ piedra se puede separar en $2$ montones. La siguiente observación es que en cada turno siempre hay exactamente un monton de piedras más que en el anterior. Entonces solo hay un posible estado donde un jugador pierde y es cuando hay $n$ montones con $1$ piedra cada uno. Para llegar a ese estado como en cada turno hay un montón más, entonces se necesitan $n-1$ turnos para llegar a la posicion perdedora. Si $n$ es par, $n-1$ es impar y $B$ pierde. Y si $n$ es impar, $n-1$ es par y $A$ pierde.

En un juego llamaremos a una posicion del juego $G$ o ganadora, si el jugador que mueve puede elegir un movimiento con el que garantizará ganar. Y llamaremos $P$ o perdedora si no importa el movimiento que haga el jugador va a perder. Lo primero que notamos es que si el juego no tiene empates entonces todas las posiciones son $G$ o $P$. En juegos que tienen empates usualmente hay 2 opciones, llamar $E$ a posiciones donde se puede garantizar empatar pero no ganar, o decir que es $P$ si el jugador tiene manera de no perder, o equivalentemente que puede garantizar ganar o empatar. Lo importante de nombrar estas posiciones es que podemos definir todas las posiciones a partir de las posiciones finales, aquellas donde el juego ya termino. Y esto es util porque el siguiente lema nos ayuda a construir las posiciones $P$ y $G$. $Lema$ Una posicion es $P$ si y solo si todas las posiciones a las que lleva cualquier movimiento posible son todas $G$. Y un movimiento es $G$ si y solo si hay almenos un movimiento al que puede llevar que es $P$. La demostración es simple e intuitiva, pues estas en una posicion perdedora si y solo si no importa que hagas tu oponente esta en una posicion ganadora. Y estas en una posicion ganadora si y solo si, puedes mandar a tu oponente a una posicion donde va a perder. Por ejemplo en un juego simple donde hay un monton de varias piedritas y cada jugador puede quitar 1 o 2 piedras, entonces las posiciones $1$ y $2$ son $G$, la posición $3$ es $P$ porque el jugador que sea su turno necesariamente va a mandar a una posicion que es $G$. Y podemos seguir construyendo asi al ver que $4$ y $5$ son $G$ pues pueden mandar a $3$, pero $6$ es $P$. Y en general este juego las posiciones ganadoras son los numeros no multiplos de $3$ y las perdedoras son los multiplos de $3$.

Algunas estrategias principales a la hora de intentar un problema de juegos, es pensar en que hacer dependiendo del movimiento del oponente. Si solo usamos el movimiento anterior del oponente, le llamamos emparjamiento a esta estrategia, pues a cada movimiento que el haga definimos una pareja que nosotros vamos a hacer. \n\nDe estas estrategias hay algunos ejemplos simples:\n- Simetria, donde si el oponente pone alguna ficha en un lugar nosotros escogemos la pieza simetrica a la que eligio.\n- Paridad o ""completar"". Si el oponente toma o pone un numero par o impar de de fichas, nosotros ponemos un numero par o impar para preservar la paridad. Esto tambien puede ""completar"" otras congruencias como modulo 3, o dependiendo del juego otras cosas se pueden completar.

La configuración: Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo, $A'$ el diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, $H$ su ortocentro, $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ respectivamente, $H'$ la reflexión de $H$ por $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $\omega$ el círculo de diámetro $AH$, $Q \neq A$ la intersección de $\omega$ con $\Gamma$, $P$ la intersección de $AM$ con $\omega$, y $X$ la intersección de $EF$ con $BC$. Nota: Conviene trabajar con un triángulo $ABC$ acutángulo para fines de este documento, pero la configuración tiene las mismas propiedades sin importar la forma del triángulo. Para triángulos isósceles muchos puntos se juntan. Por ejemplo, $A=Q$, $H=P$. Otros puntos como $X$, son puntos al infinito. Rotohomotecia (similitud) - $Q$ es el centro de rotohomotecia que manda: $$E \rightarrow C,\qquad F \rightarrow B,\qquad H \rightarrow H'$$ - $Q$ es el punto de Míquel del cuadrilátero cíclico $BFEC$ - $P$ es el centro de rotohomotecia que manda: $$E \rightarrow B, \qquad F \rightarrow C,\qquad H \rightarrow A''$$ ($A''$ es la reflexión de $A$ por $BC$) - $P$ es el punto de Míquel del cuadrilátero cíclico (no convexo) $BEFC$ Armónicos: - $B, C; D, X$ es una hilera armónica - $QBH'C$ es un cuadrilátero armónico - $QEHF$ es un cuadrilátero armónico - $AP$ es simediana del triángulo $AEF$ - $PEAF$ es un cuadrilátero armónico - $H$ es el incentro del triángulo $DEF$ Inversiones: Con Centro $M$, radio $MB=MC=ME=MF$: - $B, E, F, C$ son puntos fijos - $$A \rightarrow P, \qquad Q \rightarrow H,\qquad X \rightarrow D, \qquad \omega \rightarrow \omega$$ - La recta $AX$ se invierte en el círculo de $MDHP$ - La circunferencia de los nueve puntos se invierte en $EF$ - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en $\Gamma$ Con Centro $A$, radio $\sqrt{AD \cdot AH}$ - $$B \rightarrow F, \qquad C \rightarrow E, \qquad D \rightarrow H, \qquad M \rightarrow P$$ $$X \rightarrow Q, \qquad BC \rightarrow \omega, \qquad EF \rightarrow \Gamma, \qquad K \rightarrow A''$$ -La circunferencia de diámetro BC se invierte en sí misma - La circunferencia de los nueve puntos se invierte en el circuncírculo de $BHC$ Centro $X$, radio $\sqrt{XB \cdot XC}$ - $$B \rightarrow C,\qquad M \rightarrow D, \qquad P \rightarrow H, \qquad F \rightarrow E$$ - $$A \rightarrow Q, \qquad \omega \rightarrow \omega, \qquad \Gamma \rightarrow \Gamma, \qquad K \rightarrow A''$$ - La circunferencia de diámetro BC se invierte en sí misma - La circunferencia de los nueve puntos de se invierte en sí misma - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en sí mismo Inversión negativa (ó inversión+reflexión) con centro $H$, radio $\sqrt{HA \cdot HD}$} - $$B \rightarrow E, \qquad C \rightarrow F, \qquad A \rightarrow D$$ $$ P \rightarrow X, \qquad M \rightarrow Q, \qquad\omega \rightarrow BC$$ - $\Gamma$ se invierte en la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ - $K \rightarrow A''$ - La circunferencia de diámetro $BC$ se invierte en sí misma - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en $EF$

Sea $ABC$ un triangulo con circuncentro $O$ y ortocentro $J$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Supon que el rayo $MH$ y la paralela a $AB$ por $O$ se cortan en un punto $K$ sobre el circuncirculo de $ABC$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $K$ a $AC$. Demuestra que $PH$ es paralela a $BC$.

Sea $ABC$ un triangulo, $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $C$ a $AB$ y de $B$ a $AC$ respectivamente. $P$ es el pie de la altura desde $A$ a $ED$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. Sea $G\neq P$ la interseccion del circuncirculo de $BCP$ con $ED$. Demuestra que $GH$ y $AP$ concurren en el circuncirculo de $ABC$.