Al tener un problema de modulos, especialmente uno con productos o con exponentes. Puede ser mas util usar raices primitivas para replantear el problema. Si un problema pide encontrar cuando $p|a^3+1$, usando una raiz primitiva $r$ podemos replantear como $a=r^k$ y entonces $p|r^3k+1$ y sabemos que $r^3k=1$ si y solo si $3k\equiv \frac{p-1}{2} \text{ mod } p-1$. Por lo que $3\mid p-1$ y $k=\frac{p-1}{6}, \frac{p-1}{2}, \frac{5(p-1)}{6}$, o $a\equiv -1 \text{ mod } p$.