Dado un cuadrilatero ciclico $ABCD$ inscrito en un circulo en $\omega$, decimos que $ABCD$ es un cuadrilatero harmonico si alguna de las condiciones siguientes se cumple: 1) Para todo punto $P$ en $\omega$ tenemos que $P(AC;BD)=-1$ es un haz armonico. 2) Si $T$ es la interseccion de las tangentes a $\omega$ por $A$ y $C$ entonces $T,B,D$ son colineales.

Sean $a,b,c,n$ y $m$ enteros, las siguientes son varias propiedades que cumple la divisibilidad. 1. (Transitividad) Si $a\mid b$ y $b\mid c$ entonces $a\mid c$. 2. (Linealidad) Si $a\mid b$ y $a\mid c$ entonces $a\mid bm+cn$. 3. (Producto) Si $a\mid m$ y $b\mid n$ entonces $ab\mid mn$. 4. (Division) Si $am\mid bm$ entonces $a\mid b$. 5. Si $a\mid b$ y $a\nmid c$ entonces $a\nmid b+c$. 6. Si $am\nmid bm$ entonces $a\nmid b$. 7. Si $p$ es un número primo y $p\mid ab$ entonces $p\mid a$ o $p\mid b$.

Sea un triangulo $PQR$, con hortocentro $O$ y $D$ pie de la perpendicular desde $O$ a $QR$. Decimos que el triangulo $PQR$ es autopolar si las polares de cada vertice con respecto al hortocentro $O$ y radio $\sqrt{OP\cdot OD}$ son el lado opuesto, por ejemplo la polar de $P$ es $QR$. Una manera equivalente de definir los triangulos autopolares es tomar un cuadrilatero ciclico $ABCD$, con $O$ el centro de este circulo con radio $r$. Sean $P,Q,R$ las intersecciones de $AB$ con $CD$, $AD$ con $BC$ y $AC$ con $BD$. Entonces $P,Q,R$ es autopolar con respecto a $O$ con radio $r$.

Todo entero positivo $n$ tiene una descomposicion en primos única: $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$$ con $p_i<p_{i+1}$.

Sea $p$ un primo. Decimos que un entero $k$, o más especificamente una congruencia modulo $p$, es una raíz primitiva si $$\{k, k^2, k^3,\ldots, k^{p-1}\}$$ son todas las congruencias modulo $p$. Mas en general se puede definir para $n$ donde en lugar de exponentes hasta $p-1$ se toma $\varphi(n)$. Para todo primo existe una raiz primitiva. Y para cada primo impar, $p^k, 2p^k$ tienen raices primitivas. Mas aun, solo $2,4,p^k$ y $2p^k$ son los unicos numeros con raices primitivas.

Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0$ un polinomio con coefficientes enteros. Si existe un primo $p$ que cumple las siguientes dos condiciones entonces $P(x)$ es irreducible en los racionales. - $p$ divide a todo $a_i$ excepto a $a_n$. - $p^2$ no divide a $a_0$.

Todo polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes complejos tiene exactamente $n$ raices $r_1,r_2,\ldots, r_n$ (no necesariamente distintas). Y el polinomio se puede factorizar como $$P(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n).$$

Sea $k$ un entero y sea $s_n$ una sucesion definida recursivamente por $$s_n=a_{1}s_{n-1}+a_{2}s_{n-2}+\cdots +a_{k}s_{n-k}, n>k$$ Sea $P(x)$ el polinomio $$P(x)=x^k-a_1x^{k-1}-a_2x^{k-2}-\cdots-a_k$$ y sean $\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_k$ las raices de este polinomio entonces existen valores unicos de $\gamma_1,\gamma_2,\ldots, \gamma_k$ tales que cumplen que $$s_n=\gamma_1\alpha_1^n+\gamma_2\alpha_2^n+\cdots+\gamma_k\alpha_k^n.$$

Sea $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ la descomposicion prima de $n$. Entonces $n$ tiene exactamente $$\prod_{i=1}^k (\alpha_i+1).$$

Decimos que un entero $k$ es el orden de $a$ modulo $n$ si $k$ es el entero mas pequeño tal que $$a^k\equiv 1\text{ mod }n.$$ El orden siempre existe cuando $(a,n)=1$ ($a$ y $n$ son primos relativos).