La configuración: Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo, $A'$ el diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, $H$ su ortocentro, $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ respectivamente, $H'$ la reflexión de $H$ por $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $\omega$ el círculo de diámetro $AH$, $Q \neq A$ la intersección de $\omega$ con $\Gamma$, $P$ la intersección de $AM$ con $\omega$, y $X$ la intersección de $EF$ con $BC$. Nota: Conviene trabajar con un triángulo $ABC$ acutángulo para fines de este documento, pero la configuración tiene las mismas propiedades sin importar la forma del triángulo. Para triángulos isósceles muchos puntos se juntan. Por ejemplo, $A=Q$, $H=P$. Otros puntos como $X$, son puntos al infinito. Rotohomotecia (similitud) - $Q$ es el centro de rotohomotecia que manda: $$E \rightarrow C,\qquad F \rightarrow B,\qquad H \rightarrow H'$$ - $Q$ es el punto de Míquel del cuadrilátero cíclico $BFEC$ - $P$ es el centro de rotohomotecia que manda: $$E \rightarrow B, \qquad F \rightarrow C,\qquad H \rightarrow A''$$ ($A''$ es la reflexión de $A$ por $BC$) - $P$ es el punto de Míquel del cuadrilátero cíclico (no convexo) $BEFC$ Armónicos: - $B, C; D, X$ es una hilera armónica - $QBH'C$ es un cuadrilátero armónico - $QEHF$ es un cuadrilátero armónico - $AP$ es simediana del triángulo $AEF$ - $PEAF$ es un cuadrilátero armónico - $H$ es el incentro del triángulo $DEF$ Inversiones: Con Centro $M$, radio $MB=MC=ME=MF$: - $B, E, F, C$ son puntos fijos - $$A \rightarrow P, \qquad Q \rightarrow H,\qquad X \rightarrow D, \qquad \omega \rightarrow \omega$$ - La recta $AX$ se invierte en el círculo de $MDHP$ - La circunferencia de los nueve puntos se invierte en $EF$ - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en $\Gamma$ Con Centro $A$, radio $\sqrt{AD \cdot AH}$ - $$B \rightarrow F, \qquad C \rightarrow E, \qquad D \rightarrow H, \qquad M \rightarrow P$$ $$X \rightarrow Q, \qquad BC \rightarrow \omega, \qquad EF \rightarrow \Gamma, \qquad K \rightarrow A''$$ -La circunferencia de diámetro BC se invierte en sí misma - La circunferencia de los nueve puntos se invierte en el circuncírculo de $BHC$ Centro $X$, radio $\sqrt{XB \cdot XC}$ - $$B \rightarrow C,\qquad M \rightarrow D, \qquad P \rightarrow H, \qquad F \rightarrow E$$ - $$A \rightarrow Q, \qquad \omega \rightarrow \omega, \qquad \Gamma \rightarrow \Gamma, \qquad K \rightarrow A''$$ - La circunferencia de diámetro BC se invierte en sí misma - La circunferencia de los nueve puntos de se invierte en sí misma - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en sí mismo Inversión negativa (ó inversión+reflexión) con centro $H$, radio $\sqrt{HA \cdot HD}$} - $$B \rightarrow E, \qquad C \rightarrow F, \qquad A \rightarrow D$$ $$ P \rightarrow X, \qquad M \rightarrow Q, \qquad\omega \rightarrow BC$$ - $\Gamma$ se invierte en la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ - $K \rightarrow A''$ - La circunferencia de diámetro $BC$ se invierte en sí misma - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en $EF$