En un juego llamaremos a una posicion del juego $G$ o ganadora, si el jugador que mueve puede elegir un movimiento con el que garantizará ganar. Y llamaremos $P$ o perdedora si no importa el movimiento que haga el jugador va a perder. Lo primero que notamos es que si el juego no tiene empates entonces todas las posiciones son $G$ o $P$. En juegos que tienen empates usualmente hay 2 opciones, llamar $E$ a posiciones donde se puede garantizar empatar pero no ganar, o decir que es $P$ si el jugador tiene manera de no perder, o equivalentemente que puede garantizar ganar o empatar. Lo importante de nombrar estas posiciones es que podemos definir todas las posiciones a partir de las posiciones finales, aquellas donde el juego ya termino. Y esto es util porque el siguiente lema nos ayuda a construir las posiciones $P$ y $G$. $Lema$ Una posicion es $P$ si y solo si todas las posiciones a las que lleva cualquier movimiento posible son todas $G$. Y un movimiento es $G$ si y solo si hay almenos un movimiento al que puede llevar que es $P$. La demostración es simple e intuitiva, pues estas en una posicion perdedora si y solo si no importa que hagas tu oponente esta en una posicion ganadora. Y estas en una posicion ganadora si y solo si, puedes mandar a tu oponente a una posicion donde va a perder. Por ejemplo en un juego simple donde hay un monton de varias piedritas y cada jugador puede quitar 1 o 2 piedras, entonces las posiciones $1$ y $2$ son $G$, la posición $3$ es $P$ porque el jugador que sea su turno necesariamente va a mandar a una posicion que es $G$. Y podemos seguir construyendo asi al ver que $4$ y $5$ son $G$ pues pueden mandar a $3$, pero $6$ es $P$. Y en general este juego las posiciones ganadoras son los numeros no multiplos de $3$ y las perdedoras son los multiplos de $3$.