Un cazador y un conejo invisible juegan en una cuadrícula cuadrada infinita. Primero, el cazador fija una coloración de las celdas con un número finito de colores. Luego, el conejo elige en secreto una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa al cazador sobre el color de la celda en la que se encuentra, y luego se mueve en secreto a una celda adyacente que no ha visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten un lado). El cazador gana si después de algún tiempo finito: - El conejo no puede moverse, o - El cazador puede determinar la celda en la que el conejo comenzó. Decide si existe una estrategia ganadora para el cazador.

Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n > k \geq 1$. Hay $2n + 1$ estudiantes parados en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos, es decir, los $k$ estudiantes más cercanos a la derecha y los $k$ estudiantes más cercanos a la izquierda de $S$. Supongamos que $n+1$ de los estudiantes son niñas y los otros $n$ son niños. Demuestra que hay una niña con al menos $k$ niñas entre sus vecinos.

El reino de Anisotropía consta de $n$ ciudades. Para cada par de ciudades existe exactamente una carretera directa y unidireccional entre ellas. Decimos que un "camino" de $X$ a $Y$ es una secuencia de carreteras en las uno se puede mover de $X$ a $Y$ a lo largo de esta secuencia sin volver a una ciudad ya visitada. Una colección de caminos se llama diversa si ninguna carretera pertenece a dos o más caminos en la colección. Sean $A$ y $B$ dos ciudades distintas en Anisotropía. Denotemos por $N_{AB}$ la cantidad máxima de caminos en una colección diversa de caminos de $A$ a $B$. De manera similar, denotemos por $N_{BA}$ la cantidad máxima de caminos en una colección diversa de caminos de $B$ a $A$. Demuestra que la igualdad $N_{AB} = N_{BA}$ se cumple si y solo si el número de carreteras que salen de $A$ es igual al número de carreteras que salen de $B$.

Un estafador tiene $2021$ fichas numeradas del $1$ al $2021$. Las fichas están acomodadas en un círculo en un orden arbitrario. El estafador realiza una secuencia de $2021$ movimientos; en el movimiento $k$, intercambia las posiciones de las dos fichas adyacentes a la ficha $k$. Demuestra que existe un valor de $k$ tal que, en el movimiento $k$, el estafador intercambia fichas $a$ y $b$ con $a < k < b$.

Para un entero $n \geq 3$, un entero $m \geq n + 1$ se llama $n$-colorido si, dado un número infinito de canicas de cada uno de los $n$ colores $C_1, C_2, \ldots, C_n$, es posible colocar $m$ de ellas alrededor de un círculo de manera que en cualquier grupo de $n + 1$ canicas consecutivas haya al menos una de color $C_i$ para cada $i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestra que solo hay finitos enteros positivos que no son $n$-coloridos y encuentra el mayor de ellos.

Sea $S$ un conjunto infinito de enteros positivos tal que existan cuatro elementos distintos $a$, $b$, $c$, $d \in S$ con $\text{mcd}(a, b) \neq \text{mcd}(c, d)$. Demuestra que existen tres elementos distintos $x$, $y$, $z \in S$ tales que $\text{mcd}(x, y) = \text{mcd}(y, z) \neq \text{mcd}(z, x)$.

Determina todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ (f(a)-f(b)) + (f(b)-f(c)) + (f(c)-f(a)) = f(ab^2 + bc^2 + ca^2) - f(a^2b + b^2c + c^2a) \] para todos los números reales $a$, $b$, $c$.

Sea $n \geq 1$ un entero, y sean $x_0, x_1, \ldots, x_{n+1}$ números reales no negativos que satisfacen $x_ix_{i+1} - x_{i-1}^2 \geq 1$ para todo $i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestra que \[ x_0 + x_1 + \cdots + x_{n-1} + x_{n+1} > (\frac{2n}{3})^{\frac{3}{2}}. \]

Sea $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y sea $m \geq 2$ un entero. Supongamos que existen subconjuntos no vacíos $B_1, B_2, \ldots, B_m$ de $A$ cuyos elementos suman $m^1, m^2, m^3, \ldots, m^m$ respectivamente. Demuestra que $A$ contiene al menos $\frac{m}{2}$ elementos.

Sea $n \geq 2$ un entero, y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos tales que $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$. Demuestra que \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{1-a_k} \left(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1}\right)^2 < \frac{1}{3}. \]