Demuestra que para todos los números reales $x_1, \ldots, x_n$, se cumple la siguiente desigualdad: \[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i - x_j|} \leq \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i + x_j|}. \]

Dado un entero positivo $n$, encuentra el valor más pequeño de \[ \lfloor \frac{a_1}{1}\rfloor + \lfloor\frac{a_2}{2}\rfloor + \cdots + \lfloor\frac{a_n}{n} \rfloor \] sobre todas las permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $1, 2, \ldots, n$.

Para cada entero $n \geq 1$, considera la tabla $n \times n$ con la entrada $\lfloor \frac{ij}{n+ 1} \rfloor$ en la intersección de la fila $i$ y la columna $j$, para $i = 1, \ldots, n$ y $j = 1, \ldots, n$. Encuentra todos los enteros $n \geq 1$ para los cuales la suma de las $n^2$ entradas en la tabla es igual a $\frac{1}{4}n^2(n - 1)$.

Sea $n$ un número entero y $A$ un subconjunto de $\{0, 1, 2, 3, \ldots, 5^n\}$ que consiste en $4n + 2$ números. Demuestra que existen $a$, $b$, $c \in A$ tales que $a < b < c$ y $c + 2a > 3b$.

Sea $\Omega(n)$ el numero de factores primos de $n$, contando multiplicidad. Calcula $$\sum_{n=1}^{1989} (-1)^{\Omega(n)}\lfloor \frac{1989}{n}\rfloor.$$

Sea $(a_n)$ la secuencia definida por $\sum_{d\mid n} a_n=2^n$. Demuestra que $n\mid a_n$.