Sea $\omega$ el circuncirculo de un triángulo $ABC$, y sea $\Omega_A$ su excírculo que es tangente al segmento $BC$. Los puntos $X$ e $Y$ son los puntos de intersección de $\omega$ y $\Omega_A$. Las proyecciones de $A$ a las líneas tangentes a $\Omega_A$ en $X$ e $Y$ son $P$ y $Q$, respectivamente. La línea tangente en $P$ al circuncirculo del triángulo $APX$ se interseca con la línea tangente en $Q$ al circuncirculo del triángulo $AQY$ en un punto $R$. Demuestra que $AR \perp BC$.

Se elige un punto $D$ dentro de un triángulo acutangulo $ABC$ con $AB > AC$, de manera que $\angle BAD = \angle DAC$. Se construye un punto $E$ en el segmento $AC$ tal que $\angle ADE = \angle DCB$. De manera similar, se construye un punto $F$ en el segmento $AB$ tal que $\angle ADF = \angle DBC$. Se elige un punto $X$ en la línea $AC$ tal que $CX = BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $DXE$. Demuestra que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Determina todos los enteros $n \geq 3$ que satisfacen la siguiente propiedad: cualquier $n$-agono convexo cuyos lados tienen longitud 1 contiene un triángulo equilátero de lado 1. (Se asume que cada polígono contiene su frontera.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen todos longitudes diferentes. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$. Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ intersecan a $AC$ en $B1$ y $D1$, respectivamente. Sea $O_B$ el centro del círculo que pasa por $B$ y es tangente a $AC$ en $D1$. De manera similar, sea $O_D$ el centro del círculo que pasa por $D$ y es tangente a $AC$ en $B1$. Supongamos que $BD1 \parallel DB1$. Demuestra que $O$ está en la recta $O_BO_D$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\Omega$. La tangente a $\Omega$ en $D$ interseca a los rayos $BA$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro del triángulo $ABC$ tal que $TE \parallel CD$ y $TF \parallel AD$. Sea $K\neq D$ un punto en el segmento $DF$ tal que $TD = TK$. Demuestra que las rectas $AC$, $DT$ y $BK$ se intersecan en un punto.

Versión 1. Sea $n$ un entero positivo fijo, y sea $\mathcal{S}$ el conjunto de puntos $(x, y)$ en el plano cartesiano tales que ambas coordenadas $x$ e $y$ sean enteros no negativos menores que $2n$ (por lo tanto, $|\mathcal{S}| = 4n^2$). Supongamos que $\mathcal{F}$ es un conjunto que consiste en $n^2$ cuadriláteros de manera que todos sus vértices están en $\mathcal{S}$, y cada punto en $\mathcal{S}$ es un vértice de exactamente uno de los cuadriláteros en $\mathcal{F}$. Determina la suma más grande posible de las áreas de todos los cuadriláteros en $F$. Versión 2. En lugar de que $\mathcal{F}$ consista de cuadrilateros, consiste de poligonos de cualquier numero de lados. Determina la maxima suma de los poligonos en $\mathcal{F}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito alrededor de un círculo con centro $I$. Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ACI$. Las prolongaciones de $BA$ y $BC$ más allá de $A$ y $C$ intersecan $\omega$ en $X$ y $Z$, respectivamente. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ intersecan $\omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Demuestra que los perímetros de los cuadriláteros (posiblemente auto-intersecantes) $ADTX$ y $CDYZ$ son iguales.

Sea $ABCD$ un paralelogramo tal que $AC = BC$. Se elige un punto $P$ en la prolongación del segmento $AB$ más allá de $B$. El circuncírculo del triángulo $ACD$ intereca al segmento $PD$ nuevamente en $Q$, y el circuncírculo del triángulo $APQ$ interseca al segmento $PC$ nuevamente en $R$. Demuestra que las rectas $CD$, $AQ$ y $BR$ son concurrentes.

Determina el valor más grande de $N$ para el cual existe una tabla $T$ de enteros con $N$ filas y $100$ columnas que tiene las siguientes propiedades: (i) Cada fila contiene los números $1, 2, \ldots, 100$ en algún orden. (ii) Para cualquier par de filas distintas $r$ y $s$, existe una columna $c$ tal que $|T_{r, c} - T_{s, c}| \geq 2$. Donde $T_{r, c}$ es el número en la intersección de la fila $r$ y la columna $c$.

Considera un tablero cuadrado de $3m \times 3m$, donde $m$ es un entero mayor que $1$. Una rana se encuentra en la celda inferior izquierda $S$ y quiere llegar a la celda superior derecha $F$. La rana puede saltar desde cualquier celda a la siguiente celda a la derecha o a la siguiente celda hacia arriba. Algunas celdas pueden estar pegajosas, y la rana queda atrapada una vez que salta a una celda pegajosa. Un conjunto $X$ de celdas se llama bloqueante si la rana no puede llegar de $S$ a $F$ cuando todas las celdas de $X$ están pegajosas. Un conjunto bloqueante es mínimo si no contiene un conjunto bloqueante más pequeño. (a) Demuestra que existe un conjunto bloqueante mínimo que contiene al menos $3m^2 - 3m$ celdas. (b) Demuestra que cualquier conjunto bloqueante mínimo contiene como máximo $3m^2$ celdas.