Para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $n$, sea $d_p(n)$ el residuo cuando $n$ se divide por $p$. Decimos que $a_0, a_1, a_2, \ldots$ es una $p$-secuencia si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p$, y $a_{n+1} = a_n + d_p(a_n)$ para $n \geq 0$. (a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$-secuencias $a_0, a_1, a_2, \ldots$ y $b_0, b_1, b_2, \ldots$ tal que $a_n > b_n$ para infinitos valores de $n$, y $b_n > a_n$ para infinitos valores de $n$? (b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$-secuencias $a_0, a_1, a_2, \ldots$ y $b_0, b_1, b_2, \ldots$ tal que $a_0 < b_0$, pero $a_n > b_n$ para todo $n \geq 1$?

Sea $n\geq 2$ un entero. ¿Existe una secuencia $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de enteros positivos, no todos iguales, tal que la media aritmética de cualquier par de términos sea igual a la media geométrica de algunos (uno o más) términos en esta secuencia?

Para cada primo $p$, existe un reino llamado $p$-Landia que consiste en $p$ islas numeradas $1, \ldots, p$. Dos islas distintas numeradas $n$ y $m$ están conectadas por un puente si y solo si $p$ divide a $(n^2- m + 1)(m^2-n+1)$. Los puentes pueden cruzarse entre sí, pero no pueden cruzarse. Demuestra que para infinitos valores de $p$ hay dos islas en $p$-Landia que no están conectadas por una cadena de puentes.

Dado un entero positivo $k$, demuestra que existe un número primo $p$ tal que se pueden elegir enteros distintos $a_1, a_2, \ldots, a_{k+3}$ de entre $\{1, 2, \ldots, p-1\}$ de manera que $p$ divide a $a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3} - i$ para todo $i = 1, 2, \ldots, k$.

Demuestra que existe una constante positiva $c$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Supongamos que $n$ es un entero con $n \geq 2$, y sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano tal que la distancia entre dos puntos distintos en $S$ es al menos $1$. Entonces, existe una recta $\ell$ que separa $S$ de tal manera que la distancia de cualquier punto de $S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$. (Se dice que una recta $\ell$ separa un conjunto de puntos $S$ si algún segmento que une dos puntos en $S$ corta a $\ell$.)

Sean $\Gamma$ e $I$ el circuncirculo y el incentro de un triángulo acutangulo $ABC$. Dos circunferencias $\omega_B$ y $\omega_C$ que pasan por $B$ y $C$, respectivamente, son tangentes en $I$. $\omega_B$ corta al arco menor $AB$ de $\Gamma$ y al segmento $AB$ otra vez en los puntos $P$ y $M$, respectivamente. Similarmente, $\omega_C$ corta al arco menor $AC$ de $\Gamma$ y al segmento $AC$ otra vez en los puntos $Q$ y $N$, respectivamente. Los rayos $PM$ y $QN$ se intersecan en $X$, y las tangentes a $\omega_B$ y $\omega_C$ en $B$ y $C$, respectivamente, se intersecan en $Y$. Demuestra que los puntos $A$, $X$ y $Y$ son colineales.

Sea $P$ un punto en el circuncirculo de un triángulo acutangulo $ABC$. Sean $D$, $E$ y $F$ las reflexiones de $P$ por las lineas que unen los puntos medios de los lados de $ABC$, haciendolo para las lineas que son paralelas a $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Denotamos por $\omega_A$, $\omega_B$ y $\omega_C$ los circuncirculos de los triángulos $ADP$, $BEP$ y $CFP$, respectivamente. Denotamos por $\omega$ el circuncirculo del triángulo formado por las mediatrices de los segmentos $AD$, $BE$ y $CF$. Demuestra que $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ y $\omega$ tienen un punto común.

Sean $I$ y $I_A$ el incentro y el excentro $A$-excentro de un triángulo acutangulo $ABC$ con $AB < AC$. El incirculo es tangente a $BC$ en $D$. La recta $AD$ interseca a $BI_A$ y $CI_A$ en $E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AID$ y $I_AEF$ son tangentes entre sí.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico sin lados paralelos. Sean $K$, $L$, $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente, de tal manera que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ y $\omega_4$ los incírculos de los triángulos $ANK$, $BKL$, $CLM$ y $DMN$, respectivamente. Demuestra que las tangentes internas comunes a $\omega_1$ y $\omega_3$ y las tangentes internas comunes a $\omega_2$ y $\omega_4$ son concurrentes.

En el plano, hay $n \geq 6$ discos disjuntos $D_1, D_2, \ldots, D_n$ con radios $R_1 \geq R_2 \geq \ldots \geq R_n$. Para cada $i = 1, 2, \ldots, n$, se elige un punto $P_i$ en el disco $D_i$. Sea $O$ un punto arbitrario en el plano. Demuestra que \[ OP_1 + OP_2 + \ldots + OP_n \geq R_6 + R_7 + \ldots + R_n. \] (Se asume que un disco contiene su frontera.)