Una función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ satisface \[f^{f(n)}(n) = \frac{n^2}{ f(f(n))}\] Encuentra todos los valores posibles de $f(1000)$.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ tales que, para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$,\n\[f^{f(n)}(m) + mn = f(m)f(n).\]

Sea $S = \{1, 2, 3, \ldots, 2021\}$ y $f : S \rightarrow S$ una función tal que $f^n(n) = n$ para cada $n \in S$. Encuentra todos los posibles valores para $f(2021)$.

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funcion biyectiva. ¿Siempre existe un conjunto infinito de funciones $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(g(x)) = g(f(x))$ para todo $x \in \mathbb{R}$?

Sea $X$ un conjunto finito, y $f : X \rightarrow X$. Supongamos que existe un primo $p$ tal que $f^p(x) = x$ para todo $x \in X$. Sea $Y = \{x \in X \,|\, f(x) \neq x\}$. Demuestra que $p \mid |Y|$.

En cada celda de un tablero de ajedrez con 2 filas y 2019 columnas se escribe un número real de tal manera que:\n• No hay dos números escritos en la primera fila que sean iguales entre sí.\n• Los números escritos en la segunda fila coinciden (en algún orden) con los números escritos en la primera fila.\n• Los dos números escritos en cada columna son diferentes y su suma es un número racional.\nDetermina la cantidad máxima de números irracionales que pueden estar en el tablero.

Sea $S$ un conjunto de $n \geq 3$ enteros positivos, donde ninguno de ellos es la suma de otros dos elementos distintos de $S$. Demuestra que los elementos de $S$ se pueden ordenar como $a_1,a_2,\ldots, a_n$ de manera que $a_i$ no divide a $a_{i-1}+a_{i+1}$ para todo $i=2,3\ldots, n-1$.

Para un entero positivo $n$, sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$, y sea $\varphi(n)$ el número de enteros positivos no mayores que $n$ que son coprimos con $n$. ¿Existe una constante $C$ tal que \[ \frac{\varphi(d(n))}{d(\varphi(n))} \leq C \] para todo $n \geq 1$?

Determina todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de todos los enteros positivos y tomando valores enteros no negativos, que satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) Para al menos un valor de $n$, $f(n) \neq 0$. (ii) $f(xy) = f(x) + f(y)$ para todos los enteros positivos $x$ e $y$. (iii) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(k) = f(n-k)$ para todo $k < n$.