Las filas y columnas de un tablero de $2^n \times 2^n$ están numeradas de $0$ a $2^n - 1$. Las casillas del tablero han sido coloreadas de tal manera que se cumple la siguiente propiedad: para todo $0 \leq i, j \leq 2^n - 1$, la celda en la fila $i$ y la columna $j$ tiene el mismo color que la celda en la fila $j$ y la columna $i + j \pmod{2^n}$. Demuestra que el número máximo posible de colores es $2^n$.

Sea $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ una funcion. Supongamos que para todo $n \in \mathbb{N}$ existe una $k \in \mathbb{N}$ tal que $f^{2k}(n) = n + k$, y sea $k_n$ el mínimo valor de $k$ para el cual esto ocurre. Demuestra que la secuencia $k_1, k_2, \ldots$ no es acotada.

Encuentra todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales existe un entero $m$ y un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros que cumple las siguientes tres condiciones: - $m > 1$ y $\text{gcd}(m, n) = 1$, - los números $P(0)$, $P^2(0)$, $\ldots$, $P^{m-1}(0)$ no son divisibles por $n$, - $P^m(0)$ es divisible por $n$.

Sea $f : X \to X$, donde $X = \{1, 2, \ldots, 100\}$, una función que cumple: - $f(x) \neq x$ para todo $x \in X$, - para cualquier $A \subset X$ con $|A| = 40$, se tiene $A \cap f(A) \neq \emptyset$. Encuentra el minimo $k$ tal que para cualquier funcion $f$ que cumpla las condiciones, existe $B\subset X$ con $|B|=k$ tal que $B\cup f(B)=X$.

Sea $n > 1$ un entero y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ enteros tales que $n \mid a_i - i$ para todos los enteros $1 \leq i \leq n$. Demuestra que existe una secuencia infinita $b_1, b_2, \ldots$ tal que - $b_k \in \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ para todos los enteros positivos $k$, - $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{n^k}$ es un entero.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos, y sean $A$ y $B$ conjuntos finitos disjuntos de enteros, tales que si $i \in A \cup B$, entonces $i + a \in A$ o $i - b \in B$. Demuestra que $a|A| = b|B|$.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen las siguientes condiciones: • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $f^n(n) = n$. • Para todo $m, n \in \mathbb{N}$, $|f(mn) - f(m)f(n)| < 2017$.

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Demuestra que no existe una función $T : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tal que la cantidad de enteros $x$ con $T^n(x) = x$ sea igual a $P(n)$ para todo entero positivo $n$.

Sea $g(x) = (|x| + |x - 1| - 1)/2$. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que \[f^{\left(g(f(x) - x)\right)}(x) = x, \quad \forall x\in \mathbb{N}.\]

(ISL 2017) Sea $S$ un conjunto finito, y $f : S \rightarrow S$. Supongamos que $f \circ g \circ f \neq g \circ f \circ g$ para toda función $g : S \rightarrow S$ con $g \neq f$. Demuestra que $f(f(S)) = f(S)$.