Una secuencia de puntos $P_1,\ldots, P_n$ en el plano (no necesariamente distintos) es carioca si existe una permutacion $a_1,\ldots, a_n$ de los numeros $1,\ldots, n$ tal que los segmentos $$P_{a_1}P_{a_2}, P_{a_2}P_{a_3},\ldots, P_{a_n}P_{a_1}$$ tienen todos la misma longitud. Determina el mayor numero $k$ tal que para toda secuencia de $k$ puntos en el plano, se pueden agregar $2023-k$ puntos de manera que la secuencia de $2023$ puntos es carioca.

Sean $B$ y $C$ dos puntos en el plano. Para cada punto $A$ en el plano que no este en la linea $BC$, consideramos $G$ el gravicentro del triangulo $ABC$. Determina el lugar geometrico de los puntos $A$ tales que $\angle BAC+\angle BGC=180^\circ$

Ana y Beto juegan con una balanza de dos platillos. Tienen $2023$ pesas numeradas con sus pesos, $1, 2, \ldots, 2023$. Cada jugador, por turnos, escoge una pesa que no se haya colocado aun en uno de los platillos de la balanza y lo coloca en el platillo con el menor peso, en caso que pesen igual lo puede colocar en el que sea. Ana empieza el juego y se termina cuando colocan todas las pesas. Ana gana si al final la balanza esta balanceada, si no gana Beto. Determina quien tiene estrategia ganadora y su estrategia.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tales que para todo entero $n$ tenemos $$2023 f(f(n))+2022n^2=2022f(n)+2023f(n)^2+1.$$

Sea $n$ un entero positivo. Se consideran los siguientes $35$ numeros:\n$$n, 2n, 3n, \ldots, 35n$$ Demuestra que al menos uno de estos numeros tiene un $7$ como digito.

Cangu salta sobre la recta numerica siguiendo siempre la misma rutina: da dos saltos de longitud $3$ seguidos de tres saltos de longitud $1$. Comienza en $0$ y repite su rutina una y otra vez, hasta pasarse de $100$ ¿Sobre cual de los siguientes numeros pisara Cangu?

En una cuadricula de $m×n$ con $m, n \geq 3$, el numero de cuadritos que tienen exactamente $3$ cuadritos vecinos es igual al numero de cuadritos que tienen exactamente $4$ cuadritos vecinos. ¿Cuantos cuadritos tiene la cuadricula?

Encuentra todas las parejas de enteros $(c, d)$, ambos mayores que $1$, tales que: Para todo primo $p > c(2c+1)$ y cualquier polinomio mónico $Q$ de grado $d$ con coeficientes enteros, existe un conjunto $S \subseteq \mathbb{Z}$ que cumple: - $|S| \leq \frac{2c - 1}{2c + 1} p$, $$- \bigcup_{s\in S} \{s, Q(s), Q(Q(s)),\ldots\} \equiv \{0, 1, \ldots, p - 1\} \pmod{p}$$

Sea $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$. Supongamos que: - Si $m, n \in \mathbb{Z}^+$, entonces $\frac{f^n(m) - m}{n} \in \mathbb{Z}^+$, y - el conjunto $\mathbb{Z}^+ \setminus \{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}^+\}$ es finito. Demuestra que la secuencia $f(1) - 1, f(2) - 2, f(3) - 3, \ldots$ es periódica.