Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Si $M$, $N$ y $K$ son los puntos medios de los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$, respectivamente, y además existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que $\measuredangle \, BPN = \measuredangle \, PAD$ y $\measuredangle \, CPN = \measuredangle \, PDA$, demuestre que $AB \cdot CD = 4PM \cdot PK$.

Determine todas las funciones $f \colon \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ que satisfacen las dos condiciones siguientes para cualesquiera $m, n \in \mathbb{Z}^{+}$:\n\n1) $f(m+n) \mid f(m)+f(n)$\n2) $f(m)f(n) \mid f(mn).$\n

Encuentre todos los números enteros positivos de cuatro dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos sea el doble que la suma de sus dígitos.

Hay $2023$ cuyos en un circulo de manera que todos menos uno, que nombraremos $M$, tienen un espejo apuntando a otro cuyo. $M$ tiene una linterna y la va a apuntar a otro cuyo. La luz al llegar a un cuyo se refleja por el espejo y llegara al cuyo al que apuntaba y esto seguira pasando cada ves que se refleje. Isaias va a redireccionar algunos de los espejos de manera que sin importar a que cuyo apunte $M$ el rayo de luz llegara de regreso a $M$. Cual es el menor numero de espejos que debe redireccionar Isaias de manera que no importa como estaban acomodados los espejos el rayo de luz siempre regrese a $M$?

Sea $ABCD$ un rombo con $\angle BAD=60^\circ$. Los puntos $F,G,H$ estan en $AD,DC$ y $AC$, respectivamente, tal que $DFGH$ es un paralelogramo. Demuestra que $BFH$ es equilatero.

Demuestra que puedes elegir 15 numeros distintos entre $1$ y $2023$ de manera que al tomar cualesquiera de ellos (puede ser solo uno) la suma no es ninguna potencia de un entero.

Sea $x>1$ un numero real que no es entero. Sea $\{x\}$ su parte fraccionaria y $\lfloor x\rfloor$ el piso de $x$. Demuestra que $$\left( \frac{x+\{x\}}{\lfloor x\rfloor} - \frac{\lfloor x \rfloor}{x+\{x\}}\right)+\left( \frac{x+\lfloor x\rfloor}{\{x\}}-\frac{\{x\}}{x+\lfloor x\rfloor}\right)>\frac{16}{3}$$

Hay $n$ cuyos en un circulo. Cada cuyo tiene una direccion asignada, direccion de las manecillas del reloj o en contra. Ademas consideramos los cuyos en orden de manera que el primero se mueve con velocidad de $1$ metro por hora, el segundo $2$ metros por hora, ..., el $n$-esimo $n$ metros por hora. Ademas cada cuyo tiene un contador que inicia en $0$. Todos los cuyos empiezan a moverse al mismo tiempo. Cuando dos cuyos se encuentran en un mismo punto, el mas veloz aumenta su contador en uno y el otro cuyo ahora se mueve en la misma direccion. Si mas de dos se encuentran al mismo tiempo esto se hace para cada par de cuyos, de manera que al final todos van en la direccion del cuyo mas rapido. Demuestra que hay un momento donde sucede que para cada cuyo si este es el $i$-esimo cuyo entonces su contador esta en $i-1$.

Para cada entero positivo $n$ tomamos el mayor divisor $d_n$ de $n$ tal que $d_n\leq \sqrt{n}$ y definimos $a_n=\frac{n}{d_n}-d_n$. Demuestra que en la sucesion $a_1,a_2,\ldots$ todo entero no negativo aparece infinitas veces.

Sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros de grado mayor o igual a $4$. Un entero $n$ se dice $P$-representable si existen enteros $a,b$ tal que $n=P(a)-P(b)$. Demuestra que si para todo $N\geq 0$ mas de la mitad de los enteros $\{0,1,2,\cdots, N\}$ son $P$-representables entonces todos los numeros pares o todos los impares son $P$-representables.