(a) Suponga que cada casilla de un tablero de $4\times7$ está coloreada de blanco o negro. Demuestre que el tablero debe contener un rectángulo (formado por las líneas verticales y horizontales del tablero) tal que las cuatro casillas que conforman sus esquinas son todos del mismo color. (b) Exhibe una coloración blanco y negro de un tablero de $4\times6$ tal que las cuatro casillas que conforman las esquinas de cada rectángulo no son todas del mismo color.

A cada uno de $1+2+\cdots+50=1275$ discos se etiquetan con un número de tal manera que hay un disco con el número 1, dos discos con el número 2, tres discos con el número 3, $\dots$, cincuenta discos con el número 50. Cada uno de estos discos se coloca en una caja. Luego se extraen discos al azar de la caja sin devolverlos. ¿Cuál es el menor número de discos que deben extraerse para asegurar que se han extraido al menos diez discos con la misma etiqueta?

Los números $1,2,\dots,9$ se colocan aleatoriamente en los $9$ cuadrados de una cuadrícula de $3 \times 3$. En cada cuadrado se coloca un número y cada uno de los números se usa exactamente una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de cada fila y de cada columna sea impar?

Hay 52 personas en una habitación. ¿Cuál es el valos más grande de $n$ tal que la afirmación "Al menos $n$ personas en esta sala cumplen años el mismo mes" es siempre cierta?

Cada una de ocho cajas contiene seis bolas. Cada bola ha sido coloreada con uno de $n$ colores, de modo que no haya dos bolas en la misma caja que sean del mismo color y que no haya dos colores juntos en más de una caja. Determine el menor entero $n$ para el cual esto es posible.

En un polígono de $n$ lados ($n\geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos formados con los vértices del polígono con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumplen una de las siguientes dos condiciones: (a) no tienen vértices en común, (b) tienen 2 vértices en común. Demuestra que $T$ tiene a lo más $n$ triángulos.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo, $\Gamma$ su cuircuncirculo y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto en $AC$ tal que $\angle COF=\angle ACB$, donde $F$ y $B$ estan de lados opuestos respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La paralela a $BC$ por $A$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $M$. Las rectas $MG$ y $CO$ se cortan en $K$. Demuestra que los circuncirculos de los triangulos $BGK$ y $AOK$ concurren en $AB$.

Dada una coleccion de $n$ fichas que pueden estar pintadas de negro o blanco, tienen cada ficha un numero del $1$ al $n$ escrito. Un mago puede hacer los siguientes movimientos: elige $2$ fichas y convierte la ficha con el menor numero en una copia de la mayor (mismo color y numero).\nEl mago va a jugar haciendo estos movimientos hasta que ya no pueda hacer mas movimientos. \nSi consideras todas las maneras en que puede jugar y con los colores en que puede empezar, cuales son los posibles numeros de movimientos que puede hacer el mago?

Los numeros del $1$ al $2000$ se encuentran colocados sobre los vertices de un poligono regular de $2000$ lados, uno en cada vertice, de manera que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $1\leq A<B<C<D\leq 2000$ entonces el segmento que uno los vertices donde estan los numeros $A$ y $B$, y el segmento que une los vertices donde estan $C$ y $D$ no se intersecan en el interior del poligono. \nDemuestra que existe un entero positivo que es un numero cuadrado perfecto tal que el numero dimetralmente opuesto a el no es un numero cuadrado perfecto.