AMC 12B 2021 Problema 20
Sean $Q(x)$ y $R(z)$ los únicos polinomios tales que$$z^{2021}+1=(z^2+x+1)Q(z)+R(z)$$y $deg(R)<2$. Determina el polinomio $R(z)$.
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AIME I 2022 Problema 1
Los polinomios cuadraticos $P(x)$ y $Q(x)$ tienen como coeficientes principales a $2$ y $-2$ respectivamente. Las gráficas de ambos polinomios pasan por los puntos $(16,54)$ y $(20,53)$. Determina el valor de $P(0)+Q(0)$.
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Definición de polinomio.
Un polinomio es una suma de la forma$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$Donde $x$ es una variable y $a_n,a_{n-1},\dots,a_0$ son coeficientes constantes. Si $a_n\neq 0$ diremos que el polinomio $P(x)$ tiene grado $n$, denotamos el grado del polinomio por $deg(P(x))$.
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St. Petersburg City Mathematical Olympiad 2001
En cada uno de los cuadrados unitarios de un tablero de $10\times10$, se escribe un entero positivo menor a $10$. Cualesquiera dos números que se encuentren en casillas adyacentes o diagonalmente adyacentes son primos relativos. Pruebe que algún número aparece al menos $17$ veces.
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Problema de casillas
Una secuencia de $m$ enteros positivos contiene exactamente $n$ términos distintos. Pruebe que si $2^n\leq m$ entonces existe un bloque de enteros consecutivos cuyo producto es un cuadrado perfecto.
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Principio de casillas
Si se tienen $n$ o más objetos que se deben repartir en $m$ casillas, entonces debe haber al menos una casilla en donde se colocaron al menos $\left\lceil \frac{m}{n} \right\rceil$ objetos.
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Irish Mathematical Olympiad 1999 Problema 2
Muestra que existe un término positivo de la secuencia de Fibonacci que es divisible por 1000.
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Austrian–Polish Mathematics Competition 1980
"Sea $x_1,x_2,x_3,\dots$ una secuencia de enteros tal que \n\n (a) $1=x_1<x_2<x_3<\cdots$\n (b) $x_{n+1}\leq2n$ para todo $n=1,2,3,\dots$\n\nPruebe que todo entero positivo $k$ es igual a $x_i-x_j$ para algunos $i,j$."
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Problema de casillas
Dados $45$ enteros positivos distintos estrictamente menores que $99$, pruebe que dos de estos enteros positivos tienen suma igual a $99$.
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Problema de casillas
Dadon un entero positivo $k>1$. Pruebe que existe un primo $p$ y una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ tales que los términos de la secuencia $$p+ka_1,p+ka_2,\dots,p+ka_n,\dots$$ Son todos números primos.
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