7 Sea $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $$f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^n\bigg(\frac{1}{n^x}\bigg)$$ (a) Demuestre que $f$ tiene exactamente un punto de discontinuidad. (b) Evalúe $f$ en su punto de discontinuidad.

6 Sean $a<b$ y $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una función estrictamente monótona tal que $\int_a^b f(x) dx=0$. Demuestre que $f(a)\cdot f(b)<0$. Encuentre todas las sucesiones convergentes $(a_n)_{n\geq 1}$ para las cuales existe una función estrictamente monótona $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$\int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x)dx = \int_{a_n}^{a_{n+1}} f(x)dx,\text{ para todo }n\geq 2.$$

5 (a) Sea $f(x)=x-xe^{-\frac1x}, \ \ x>0$. Demuestre que $f(x)$ es una función creciente en $(0,\infty)$, y que $\lim_{x\to\infty} f(x)=1$. (b) Utilizando la parte (a) o de otro modo, dibuje las gráficas de $y=x-1, y=x, y=x+1$ y $y=xe^{-\frac{1}{|x|}}$ para $-\infty<x<\infty$ utilizando los mismos ejes $X$ e $Y$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. SomeonecoolLovesMaths 3837 publicaciones SomeonecoolLovesMaths #1 h 6 de feb. de 2026, 5:40 a. m. Y en el triángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en el punto $D$ y la bisectriz del ángulo $B$ corta al lado $AC$ en el punto $E$ . Dado que $DE$ es paralelo a $AB$ , demuestre que $AE = BD$ y que el triángulo $ABC$ es isósceles. Z K Y

12 Sea $f \colon [a, b] \to [a, b]$ una función diferenciable. Considere un punto $(\alpha, \beta)$ en la recta que une $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ tal que $\alpha \notin [a, b]$. Demuestre que existe una tangente a la curva que pasa por $(\alpha, \beta)$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:20 PM Y por Entre los números de cuatro dígitos mayores que $2022$ que son divisibles por $3$, encuentre el entero más pequeño, cuyos cuatro dígitos tienen solo dos tipos de números. Z K Y

5 Si $x$ , $y$ , $z$ son números positivos tales que $x+y+z+xyz=4$ , demuestre que \[\dfrac{x}{\sqrt{2y+3z}}+\dfrac{y}{\sqrt{2z+3x}}+\dfrac{z}{\sqrt{2x+3y}}\ge\dfrac{1}{\sqrt5}(x+y+z).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

2 Dé un ejemplo de un conjunto infinito numerable que tenga una colección no numerable de subconjuntos no vacíos tales que la intersección de cualesquiera dos de ellos sea finita.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 8 de febrero de 2026, 11:49 PM • 1 Y Y por cubres Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $(BOC) \cap \overline{AC} = D$. Además, $\overline{OD} \cap \overline{AB} = F$. El círculo con diámetro $OD$ es $\omega$. Se sabe que $\omega$ corta a $AC$ en $E$ y a $EF$ en $G\ne E$. Demuestre que $F, G, D, B$ son concíclicos. Propuesto por @Half Blood Prince Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 12 de febrero de 2026, 1:47 AM Z K Y

25 Pedro escribe $1$ o $3$ en cada celda de una cuadrícula de $6 \times 6$ de tal manera que el producto de los números en cada columna tiene como dígito de las unidades $9$, y el producto de los números en cada fila tiene como dígito de las unidades $1$. Él escribe la mayor cantidad posible de treses. ¿De cuántas maneras puede llenar la cuadrícula? $\textbf{(A) }360\qquad\textbf{(B) }720\qquad\textbf{(C) }840\qquad\textbf{(D) }1200\qquad\textbf{(E) }1800$ Propuesto por pog