8 $\mathbb{P}$ es un n-ágono con lados $l_1 ,...,l_n$ y vértices sobre un círculo. Demuestre que ningún n-ágono con estos lados tiene un área mayor que $\mathbb{P}$.

Sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$. Sea $BB'$ un diámetro del circuncírculo. Si $HONM$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que $B'N=\frac12AC$. Omid

6 $P,Q,R$ son polinomios no nulos tales que para cada $z\in\mathbb C$ , $P(z)Q(\bar z)=R(z)$ . a) Si $P,Q,R\in\mathbb R[x]$ , demuestre que $Q$ es un polinomio constante. b) ¿Es la afirmación anterior correcta para $P,Q,R\in\mathbb C[x]$ ? Omid

6 Unos científicos han logrado encontrar nuevos números entre los números reales utilizando microscopios potentes. Ahora, los números reales se han extendido a un nuevo sistema más grande en el que tenemos un orden (el cual induce el orden normal en $ \mathbb R$ ), así como 4 operaciones: suma, multiplicación, etc., y estas operaciones poseen todas las propiedades de $ \mathbb R$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/2593fa57e5f86a443c4e208aaa98236869fa9c70.png a) Demuestre que en este sistema más grande existe un número que es menor que todo entero positivo y mayor que cero. b) Demuestre que ninguno de estos números es raíz de un polinomio en $ \mathbb R[x]$ . Omid

1 Sea $n \geq 2$ un entero dado. En cualquier punto $(i, j)$ con $i, j \in\mathbb{ Z}$ escribimos el resto de $i+j$ módulo $n$. Encuentre todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que el rectángulo con vértices $(0, 0)$, $(a, 0)$, $(a, b)$, $(0, b)$ tiene las siguientes propiedades: (i) los restos $0, 1, \ldots , n-1$ escritos en sus puntos interiores aparecen el mismo número de veces; (ii) los restos $0, 1, \ldots , n -1$ escritos en sus puntos de la frontera aparecen el mismo número de veces.

6 Sean $a_1, a_2, \dots, a_9$ números no negativos, donde $a_1 = a_9 = 0$ y al menos uno de los números es distinto de cero. Denotemos la sentencia $(P)$ como: "Para $2 \le i \le 8$ existe un número $a_i$ tal que $a_{i - 1} + a_{i + 1} < ka_i$". a) Demuestre que la sentencia $(P)$ es verdadera para $k = 2$. b) Determine si la sentencia $(P)$ es verdadera para $k = \frac{19}{10}$.

6 Suponga que los números reales $x,y$ y $z$ satisfacen las siguientes ecuaciones: \begin{align*} x+\frac{y}{z} &=2,\\ y+\frac{z}{x} &=2,\\ z+\frac{x}{y} &=2. \end{align*} Demuestre que $s=x+y+z$ debe ser igual a $3$ o $7$. Nota: No se requiere demostrar la existencia de tales números $x,y,z$.

7 Encuentre un valor real de $x$ que satisfaga $\frac{x^7}{7}=1+\sqrt[7]{10}x\left(x^2-\sqrt[7]{10}\right)^2$.

8 $\triangle ABC$ es un triángulo acutángulo. Las perpendiculares trazadas desde sus vértices a los lados opuestos son $AD$, $BE$ y $CF$. La recta paralela a $DF$ que pasa por $E$ corta a $BC$ en $Y$ y a $BA$ en $X$. $DF$ y $CA$ se cortan en $Z$. El circuncírculo de $XYZ$ corta a $AC$ en $S$. Dado que $\angle B=33 ^\circ$, encuentre el ángulo $\angle FSD$ con su demostración.

3 Sea $A$ el conjunto de todas las sucesiones binarias de longitud $n$ y denotemos $o = (0, 0, \ldots, 0) \in A$. Defina la suma en $A$ como $(a_1, \ldots, a_n) + (b_1, \ldots, b_n) = (c_1, \ldots, c_n)$, donde $c_i = 0$ cuando $a_i = b_i$ y $c_i = 1$ en caso contrario. Suponga que $f\colon A \to A$ es una función tal que $f(o) = o$, y para cada $a, b \in A$, las sucesiones $f(a)$ y $f(b)$ difieren exactamente en la misma cantidad de lugares que $a$ y $b$. Demuestre que si $a, b, c \in A$ satisfacen $a + b + c = o$, entonces $f(a) + f(b) + f(c) = o$.