2 Demuestre el tercer teorema de Sylow: suponga que $G$ es un grupo y $|G|=p^em$, donde $p$ es un número primo y $(p,m)=1$. Suponga que $a$ es el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$ ($H<G$ tal que $|H|=p^e$). Demuestre que $a|m$ y $p|a-1$. (Sugerencia: puede utilizar lo siguiente: cualesquiera dos $p$-subgrupos de Sylow son conjugados.) (20 puntos)

4 a) Demuestre que todo subgrupo discreto de $(\mathbb R^2,+)$ tiene una de las siguientes formas: i - $\{0\}$. ii - $\{mv|m\in \mathbb Z\}$ para un vector $v$ en $\mathbb R^2$. iii - $\{mv+nw|m,n\in \mathbb Z\}$ para dos vectores linealmente independientes $v$ y $w$ en $\mathbb R^2$ (red $L$). b) Demuestre que todo grupo finito de simetrías que fija el origen y la red $L$ tiene una de las siguientes formas: $\mathcal C_i$ o $\mathcal D_i$ donde $i=1,2,3,4,6$ ($\mathcal C_i$ es el grupo cíclico de orden $i$ y $\mathcal D_i$ es el grupo diedral de orden $2i$). (20 puntos)

2 De acuerdo con el número estimado de participantes que dieron una solución correcta, este fue el problema más difícil (!) del examen de hoy. Así que aquí está este gran "asesino" alemán: ¡estén advertidos! Dado un círculo k y tres puntos A, B, C distintos entre sí en dicho círculo. Sean h y g las perpendiculares a la recta BC en los puntos B y C. La mediatriz del segmento AB se corta con la recta h en un punto F; la mediatriz del segmento AC se corta con la recta g en un punto G. Demuestre que el producto $BF\cdot CG$ es independiente de la posición del punto A, siempre que los puntos B y C permanezcan fijos. El problema real detrás del problema: ¿Por qué diablos deberían permanecer fijos los puntos B y C? Darij darij

2 Hay cuatro círculos $k_1, k_2, k_3$ y $k_4$ de igual radio dentro del triángulo $ABC$. El círculo $k_1$ es tangente a los lados $AB, CA$ y al círculo $k_4$, $k_2$ es tangente a los lados $AB, BC$ y a $k_4$, y $k_3$ es tangente a los lados $AC, BC$ y a $k_4$. Demuestre que el centro de $k_4$ yace sobre la línea que conecta el incentro y el circuncentro de $ABC$.

$I_a$ es el excentro del triángulo $ABC$ con respecto a $A$, y $AI_a$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $T$. Sea $X$ un punto en $TI_a$ tal que $XI_a^2=XA \cdot XT$. Trace una recta perpendicular desde $X$ a $BC$ de modo que corte a $BC$ en $A'$. Defina $B'$ y $C'$ de la misma manera. Demuestre que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes. Omid

8 $\mathbb{P}$ es un n-ágono con lados $l_1 ,...,l_n$ y vértices sobre un círculo. Demuestre que ningún n-ágono con estos lados tiene un área mayor que $\mathbb{P}$.

5 Suponga que $p$ es un número primo. Encuentre el $n$ más pequeño tal que existe un grupo no abeliano $G$ con $|G|=p^n$. SL es un acrónimo de Special Lesson. Este año nuestra lección especial fue Grupos y Simetrías. El tiempo del examen fue de 5 horas.

8 En esta pregunta, usted debe formar todos los números de un reloj, cada uno utilizando el 2 exactamente 3 veces y símbolos matemáticos. No se permite el uso de alfabetos ingleses ni palabras como $ \sin$ o $ \lim$ o $ a,b$ ni otros dígitos. //cdn.artofproblemsolving.com/images/adf787c1e725eae7b29edd128ec7405065322fc7.png Omid

3 Suponga que $G<S_n$ es un subgrupo de permutaciones de $\{1,...,n\}$ con la propiedad de que para todo $e\neq g\in G$ existe exactamente un $k\in \{1,...,n\}$ tal que $g.k=k$. Demuestre que existe un $k\in \{1,...,n\}$ tal que para todo $g\in G$ tenemos $g.k=k$. (20 puntos)

Dado un tablero de ajedrez de $2020 \times 2020$, ¿cuál es el número máximo de guerreros que se pueden colocar en sus casillas de tal manera que no haya dos guerreros que se ataquen entre sí? Un guerrero es una pieza de ajedrez especial que puede moverse $3$ pasos hacia adelante y un paso hacia un lado, o $2$ pasos hacia adelante y $2$ pasos hacia un lado en cualquier dirección.