9 En cada día de su gira por las Indias Occidentales, Sourav y Srinath desayunan una manzana o una naranja. Sourav desayuna naranjas durante los primeros $m$ días, manzanas durante los siguientes $m$ días, seguidas de naranjas durante los siguientes $m$ días, y así sucesivamente. Srinath desayuna naranjas durante los primeros $n$ días, manzanas durante los siguientes $n$ días, seguidas de naranjas durante los siguientes $n$ días, y así sucesivamente. Si $\gcd(m,n)=1$, y si la gira duró $mn$ días, ¿en cuántos días comieron el mismo tipo de fruta?

4 Dado un número real positivo $a_1$, definimos recursivamente $a_{n+1} = 1+a_1 a_2 \cdots \cdot a_n.$ Además, sea $$b_n = \frac{1}{a_1 } + \frac{1}{a_2 } +\cdots + \frac{1}{a_n }.$$ Demuestre que $b_n < \frac{2}{a_1}$ para todo entero positivo $n$ y que esta es la cota más pequeña posible.

11 Sea $ABC$ un triángulo y sean $A',B',C'$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $P$ y $P'$ puntos en el plano tales que $PA=P'A',PB=P'B',PC=P'C'$. Demuestre que todas las rectas $PP'$ pasan por un punto fijo.

8 En esta pregunta, usted debe formar todos los números de un reloj, cada uno utilizando el 2 exactamente 3 veces y símbolos matemáticos. No se permite el uso de alfabetos ingleses ni palabras como $ \sin$ o $ \lim$ o $ a,b$ ni otros dígitos. //cdn.artofproblemsolving.com/images/adf787c1e725eae7b29edd128ec7405065322fc7.png Omid

4 En la siguiente red triangular, la distancia entre dos vértices es la longitud del camino más corto entre ellos. Sean $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ vértices constantes de la red. Queremos encontrar un vértice en la red cuya suma de distancias a los vértices sea mínima. Comenzamos desde un vértice arbitrario. En cada paso, verificamos los seis vecinos y, si la suma de las distancias a los vértices desde uno de los vecinos es menor que la suma de las distancias desde los vértices en el momento actual, nos movemos a ese vecino. Si tenemos más de una opción, elegimos arbitrariamente, como se observa en la imagen adjunta. Obviamente, el algoritmo termina. a) Demuestre que cuando no podemos realizar ningún movimiento, hemos llegado a la respuesta del problema. b) ¿Este algoritmo llega a la respuesta para cualquier grafo conexo? Omid

4 Encuentre el menor número natural no nulo $n$ tal que existen números reales $x_1, x_2,..., x_n$ que satisfacen simultáneamente las condiciones: 1) $x_i \in [1/2 , 2]$ , $i = 1, 2,... , n$ 2) $x_1+x_2+...+x_n \ge \frac{7n}{6}$ 3) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{4n}{3}$

1 Demuestre que el grupo de simetrías que preservan la orientación del cubo es isomorfo a $S_4$ (el grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$). (20 puntos)

9 Para cualesquiera $a_1, a_2, ..., a_n$ positivos, demuestre que se cumple $\frac{a_1}{a_2 + a_3} + \frac{a_2}{a_3 + a_4} + ... + \frac{a_n}{a_1 + a_2} > \frac{n}{4}$.

8 El triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\omega$ con $AB = 5$, $BC = 7$ y $AC = 3$. La bisectriz del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en $D$ y al círculo $\omega$ en un segundo punto $E$. Sea $\gamma$ el círculo con diámetro $DE$. Los círculos $\omega$ y $\gamma$ se cortan en $E$ y en un segundo punto $F$. Entonces $AF^2 = \frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentre $m + n$.

2006.5 El incírculo del $\triangle{ABC}$ es tangente a los lados $BC, AC, AB$ en $P, Q, R$ respectivamente. $AA_{0}$, $BB_{0}$ y $CC_{0}$ son perpendiculares a $BC$, $AC$ y $AB$. Y $P_{0}, Q_{0}, R_{0}$ son los puntos medios de $AA_{0}$, $BB_{0}$ y $CC_{0}$ respectivamente. Demuestre que $PP_{0}, QQ_{0}, RR_{0}$ son concurrentes.