11 Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo tales que $a\geq b \geq c$. Demuestre que: $\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(b+c-\sqrt{bc})}\geq a+b+c$

6 Hay cinco laboratorios de investigación en Marte. ¿Es siempre posible dividir Marte en cinco regiones congruentes y conexas tales que cada región contenga exactamente un laboratorio de investigación?

2 Sea $k$ un círculo con centro $M.$ Existe otro círculo $k_1$ cuyo centro $M_1$ se encuentra en $k,$ y denotamos la recta que pasa por $M$ y $M_1$ como $g.$ Sea $T$ un punto en $k_1$ y dentro de $k.$ La tangente $t$ a $k_1$ en $T$ corta a $k$ en dos puntos $A$ y $B.$ Denotamos las tangentes (distintas de $t$) a $k_1$ que pasan por $A$ y $B$ como $a$ y $b,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $a, b$ y $g$ son concurrentes o paralelas.

10 Encuentre el menor valor de $k$ tal que para todo $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ se cumpla la desigualdad \[ \begin{array} c \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} +\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)} +\sqrt{(c^2+1)(d^2+1)(a^2+1)} +\sqrt{(d^2+1)(a^2+1)(b^2+1)} \\ \ \\ \ge 2( ab+bc+cd+da+ac+bd)-k \end{array}\]

2014.6 Sea la simediana de la bisectriz del ángulo $B$ del $\triangle ABD$ del cuadrilátero $ABCD$ inscrito en el círculo $\omega$ que corta a $\omega$ en el punto $P$, y la simediana de la bisectriz del ángulo $B$ del $\triangle CBD$ que corta a $\omega$ en el punto $Q$. Si $CP\cap AB=X$, $AQ\cap BC=Y$, demuestre que los puntos $X$, $D$, $Y$ yacen sobre una línea recta.

3 Demuestre que para todo primo $p$ se cumple la igualdad $$\sum_{k=1}^{p-1}\left\lfloor\frac{k^3}{p}\right\rfloor=\frac{(p-2)(p-1)(p+1)}{4}$$

2015.6 Sean $K$ , $L$ , $M$ , $N$ los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ del cuadrilátero $ABCD$ inscrito en un círculo con centro en $O$ . Sean las rectas $KM$ y $LN$ que no se cortan en $O$ y se cortan en $E$ . En el segmento $KM$ , se elige el punto $P$ tal que $\angle KOE=\angle MOP$ , y en el segmento $LN$ , se elige el punto $Q$ tal que $\angle LOE=\angle NOQ$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $O$ , $P$ , $Q$ yacen sobre la misma recta.

2012.2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle DAC=\angle DCA=\angle ABC$. Sea una recta trazada a través del vértice $D$ y paralela a $AC$ que interseca en los puntos $E$ y $F$, correspondientes a las rectas $BA$ y $BC$. Demuestre que si $CE\cap AF=U$, entonces los cuadriláteros formados por las proyecciones de los lados del cuadrilátero $ABCD$ en el punto $U$ son trapecios isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB \ne AC$. Sea $D$ un punto en $BC$ tal que $BA = BD$ y $B$ se encuentra entre $C$ y $D$. Sea $I_{c}$ el centro del círculo que es tangente a $AB$ y a las extensiones de $AC$ y $BC$. $CI_{c}$ corta al circuncírculo de $ABC$ nuevamente en $T$. Si $\angle TDI_{c} = \frac {\angle B + \angle C}{4}$, encuentre $\angle A$.

6 Sea $p>2$ un número primo. Defina una sucesión $(Q_{n}(x))$ de polinomios tal que $Q_{0}(x)=1, Q_{1}(x)=x$ y $Q_{n+1}(x) =xQ_{n}(x) + nQ_{n-1}(x)$ para $n\geq 1.$ Demuestre que $Q_{p}(x)-x^p $ es divisible por $p$ para todo entero $x.$