4 a) Demuestre que todo subgrupo discreto de $(\mathbb R^2,+)$ tiene una de las siguientes formas: i - $\{0\}$. ii - $\{mv|m\in \mathbb Z\}$ para un vector $v$ en $\mathbb R^2$. iii - $\{mv+nw|m,n\in \mathbb Z\}$ para dos vectores linealmente independientes $v$ y $w$ en $\mathbb R^2$ (red $L$). b) Demuestre que todo grupo finito de simetrías que fija el origen y la red $L$ tiene una de las siguientes formas: $\mathcal C_i$ o $\mathcal D_i$ donde $i=1,2,3,4,6$ ($\mathcal C_i$ es el grupo cíclico de orden $i$ y $\mathcal D_i$ es el grupo diedral de orden $2i$). (20 puntos)