3 Demuestre que para todo primo $p$ se cumple la igualdad $$\sum_{k=1}^{p-1}\left\lfloor\frac{k^3}{p}\right\rfloor=\frac{(p-2)(p-1)(p+1)}{4}$$

2021.4 Un círculo de radio $r$ está inscrito en un cuadrilátero $ABCD$. Sean $J$ y $K$ los centros de los círculos inscritos en los triángulos $ABC$ y $ACD$, respectivamente, y sean $P$ y $Q$ los centros de los círculos inscritos en los triángulos $AJK$ y $CJK$, respectivamente. Demuestre que $$|PQ|=|AC|-\frac{S_{AJCK}}{r}.$$ Aquí, $S_{AJCK}$ denota el área de $AJCK$.

2017.6 El centro del círculo inscrito en el triángulo $ABC$ es $I$. Se elige un punto $D$ en el lado $BC$ del triángulo, y se elige un punto $E$ en la prolongación del lado $BC$, más allá del vértice $C$, tal que $\frac{BD}{DC} =\frac{BE}{EC}$. Demuestre que la perpendicular desde el punto $D$ a la recta $IE$ es $DH$ si $\angle AHE = \angle IDE$.

2018.4 Se elige un punto $D$ en el arco $BC$ que no contiene al vértice $A$ del círculo $\omega$ que contiene al triángulo $ABC$, el cual es distinto a la mediana. La tangente al círculo $\omega$ trazada en el punto $D$ corta a la recta $BC$ en el punto $K$. La recta que pasa por el punto $K$ corta al círculo $\omega$ en los puntos $E$ y $F$, y a los segmentos $AC$, $AD$ y $AB$ en los puntos $N, M, L$, respectivamente. Si $NE = LF$, demuestre que $ML = MN$.

5 Encuentre el mayor número real $ k$ tal que para cada triángulo rectángulo con lados $ a$ , $ b$ , $ c$ , se tiene \[ a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq k\left(a+b+c\right)^{3}.\] Omid

5 Determine si existe un número natural $n$ no natural con la propiedad de que $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}$ es racional.

4 No soy un spammer, al menos, así es como me gusta pensar de mí mismo, y por lo tanto no abriré un nuevo hilo para el siguiente problema del examen DeMO de hoy: Sea $Q(n)$ la suma de los dígitos de un entero positivo $n$. Demuestre que $Q\left(Q\left(Q\left(2005^{2005}\right)\right)\right)=7$. [ EDICIÓN: Dado que esta publicación fue separada en un nuevo hilo, comento: El problema es completamente análogo al problema publicado en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=31409, con la única diferencia de que se debe considerar el número $2005^{2005}$ en lugar de $4444^{4444}$. ] Darij darij

7 Dados dos círculos distintos que se tocan internamente, demuestre cómo construir un triángulo que tenga al círculo interior como su incírculo y al círculo exterior como su círculo de los nueve puntos.

10 Sea $ T$ el conjunto de todas las ternas ordenadas $ (p,q,r)$ de enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f: T \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; pqr = 0, \\ 1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) & \\ + f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) & \\ + f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{en otro caso} \end{cases} \] para todos los enteros no negativos $ p$ , $ q$ , $ r$ .

2016.6 En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se toma el punto $M$ tal que $\measuredangle BMC=\measuredangle AMD$. Sobre los lados $AB$ y $CD$, se construyen externamente los triángulos $ABE$ y $CDF$ tales que \[\measuredangle BAE=\measuredangle DAM, \measuredangle ABE =\measuredangle CBM, \measuredangle CDF=\measuredangle ADM, \measuredangle DCF=\measuredangle BCM\] . Demuestre que los puntos $M$, $E$ y $F$ son colineales.