Sea $P$ un punto en el segmento $BC$ del triángulo escaleno $ABC$ tal que $AP \neq AB$ y $AP \neq AC$. Sean $I_1, I_2$ los incentros de los triángulos $ABP$ y $ACP$, respectivamente. Se dibujan los círculos $W_1, W_2$ centrados en $I_1, I_2$ y con radio igual a $I_1P$ e $I_2P$, respectivamente. $W_1$ y $W_2$ se intersecan en $P$ y $Q$. $W_1$ interseca a $AB$ y $BC$ en $Y_1$ (la intersección más cercana a $B$) y $X_1$, respectivamente. $W_2$ interseca a $AC$ y $BC$ en $Y_2$ (la intersección más cercana a $C$) y $X_2$, respectivamente. Demuestre que $PQ, X_1Y_1$ y $X_2Y_2$ son concurrentes.

5 Encuentre todos los pares $(b,c)$ de enteros positivos tales que la sucesión definida por $a_1=b$, $a_2=c$ y $a_{n+2}= \left| 3a_{n+1}-2a_n \right|$ para $n \geq 1$ tenga solo un número finito de términos compuestos. Propuesto por Oleg Mushkarov y Nikolai Nikolov

10 Encuentre el menor valor de $k$ tal que para todo $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ se cumpla la desigualdad \[ \begin{array} c \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} +\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)} +\sqrt{(c^2+1)(d^2+1)(a^2+1)} +\sqrt{(d^2+1)(a^2+1)(b^2+1)} \\ \ \\ \ge 2( ab+bc+cd+da+ac+bd)-k \end{array}\]

2009.5 Se trazan las bisectrices $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ del triángulo $ABC$. Sea $AA_1\cap B_1C_1=X$ y sea $Y$ el pie de la perpendicular trazada desde $X$ a $BC$. Sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de $\measuredangle BC_1Y$ y $\measuredangle CB_1Y$. Entonces, demuestre que los puntos $A$, $Y$ y $Z$ se encuentran sobre la misma recta.

4 Determine el número natural más pequeño $n \geq 2$ con la propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$, el producto de todas las diferencias $a_j - a_i$, $1 \leq i < j \leq n$, es divisible por 2001.

2010.6 Sea $\omega$ la tangente al círculo $\omega$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (que contiene a $\omega$) y sea $X_{AB}$ la tangente al círculo $\omega$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (que contiene a $\omega$). De manera similar, sean $X_{BC}$, $X_{CD}$, $X_{DA}$ (correspondientes a los lados $BC$, $CD$, $DA$). Demuestre que las bisectrices de los ángulos $\measuredangle AX_{AB}B$, $\measuredangle BX_{BC}C$, $\measuredangle CX_{CD}D$ y $\measuredangle DX_{DA}A$ se intersecan en un solo punto.

11 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La bisectriz del $\angle ACB$ corta al lado $AB$ en $D$. El circuncírculo del triángulo $ADC$ corta al lado $BC$ en $C$ y $E$ con $C \neq E$. La recta paralela a $AE$ que pasa por $B$ corta a la recta $CD$ en $F$. Demuestre que el triángulo $\triangle AFB$ es isósceles.

7 Dados dos círculos distintos que se tocan internamente, demuestre cómo construir un triángulo que tenga al círculo interior como su incírculo y al círculo exterior como su círculo de los nueve puntos.

11 Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo tales que $a\geq b \geq c$. Demuestre que: $\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(b+c-\sqrt{bc})}\geq a+b+c$

5 Encuentre el mayor número real $ k$ tal que para cada triángulo rectángulo con lados $ a$ , $ b$ , $ c$ , se tiene \[ a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq k\left(a+b+c\right)^{3}.\] Omid