13 $P$ es un punto arbitrario dentro del triángulo acutángulo $ABC$. Sean $A_1, B_1, C_1$ las reflexiones del punto $P$ con respecto a los lados $BC, CA, AB$. Demuestre que el baricentro del triángulo $A_1B_1C_1$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$.

1 Demuestre que el grupo de simetrías que preservan la orientación del cubo es isomorfo a $S_4$ (el grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$). (20 puntos)

7 Una esfera está inscrita en un poliedro $P$. Las caras de $P$ están coloreadas de negro y blanco de tal manera que no hay dos caras negras que compartan una arista. Demuestre que la suma de las áreas de las caras negras es menor o igual que la suma de las áreas de las caras blancas. El tiempo permitido para este problema fue de 1 hora.

3 Sea $ABC$ un triángulo y $k$ un círculo tal que: (1) El círculo $k$ pasa por $A$ y $B$ y es tangente a la recta $AC.$ (2) La tangente a $k$ en $B$ corta a la recta $AC$ en un punto $X\ne C.$ (3) El circuncírculo $\omega$ de $BXC$ corta a $k$ en un punto $Q\ne B.$ (4) La tangente a $\omega$ en $X$ corta a la recta $AB$ en un punto $Y.$ Demuestre que la recta $XY$ es tangente al circuncírculo de $BQY.$

6 Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos coprimos $a,b$ tales que $a$ divide a $b^2 -5$ y $b$ divide a $a^2 -5.$

Sea $S$ un conjunto con $n$ elementos y $P(S)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $S$, y sea $f : P(S) \rightarrow \mathbb N$ una función con las siguientes propiedades: para todo subconjunto $A$ de $S$ se tiene $f(A)=f(S-A)$; para cualesquiera dos subconjuntos $A$ y $B$ de $S$ se tiene $max(f(A),f(B))\ge f(A\cup B)$. Demuestre que el número de números naturales $x$ tales que existe $A\subseteq S$ con $f(A)=x$ es menor que $n$. El tiempo permitido para esta pregunta fue de 1 hora y 30 minutos.

Sea $P$ un punto en el segmento $BC$ del triángulo escaleno $ABC$ tal que $AP \neq AB$ y $AP \neq AC$. Sean $I_1, I_2$ los incentros de los triángulos $ABP$ y $ACP$, respectivamente. Se dibujan los círculos $W_1, W_2$ centrados en $I_1, I_2$ y con radio igual a $I_1P$ e $I_2P$, respectivamente. $W_1$ y $W_2$ se intersecan en $P$ y $Q$. $W_1$ interseca a $AB$ y $BC$ en $Y_1$ (la intersección más cercana a $B$) y $X_1$, respectivamente. $W_2$ interseca a $AC$ y $BC$ en $Y_2$ (la intersección más cercana a $C$) y $X_2$, respectivamente. Demuestre que $PQ, X_1Y_1$ y $X_2Y_2$ son concurrentes.

2 Llamamos a la aplicación $ \Delta:\mathbb Z\backslash\{0\}\longrightarrow\mathbb N$ una aplicación de grado si y solo si para cada $ a,b\in\mathbb Z$ tal que $ b\neq0$ y $ b\not|a$ existen enteros $ r,s$ tales que $ a = br+s$ , y $ \Delta(s) <\Delta(b)$ . a) Demuestre que la siguiente aplicación es una aplicación de grado: \[ \delta(n)=\mbox{Número de dígitos en la representación binaria de }n\] b) Demuestre que existe una aplicación de grado $ \Delta_{0}$ tal que para cada aplicación de grado $ \Delta$ y para cada $ n\neq0$ , $ \Delta_{0}(n)\leq\Delta(n)$ . c) Demuestre que $ \delta =\Delta_{0}$

9 Tenemos $n$ puntos en el plano tales que no todos son colineales. Llamamos a una recta $\ell$ una recta 'buena' si podemos dividir esos $n$ puntos en dos conjuntos $A,B$ tales que la suma de las distancias de todos los puntos en $A$ a $\ell$ es igual a la suma de las distancias de todos los puntos en $B$ a $\ell$. Demuestre que existen infinitos puntos en el plano tales que para cada uno de ellos tenemos al menos $n+1$ rectas buenas que pasan a través de ellos.

11 Sea $ABC$ un triángulo y sean $A',B',C'$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $P$ y $P'$ puntos en el plano tales que $PA=P'A',PB=P'B',PC=P'C'$. Demuestre que todas las rectas $PP'$ pasan por un punto fijo.