Sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$. Sea $BB'$ un diámetro del circuncírculo. Si $HONM$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que $B'N=\frac12AC$. Omid

2014.6 Sea la simediana de la bisectriz del ángulo $B$ del $\triangle ABD$ del cuadrilátero $ABCD$ inscrito en el círculo $\omega$ que corta a $\omega$ en el punto $P$, y la simediana de la bisectriz del ángulo $B$ del $\triangle CBD$ que corta a $\omega$ en el punto $Q$. Si $CP\cap AB=X$, $AQ\cap BC=Y$, demuestre que los puntos $X$, $D$, $Y$ yacen sobre una línea recta.

11 Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto exterior en el plano del triángulo. Suponga que las rectas $AP$, $BP$, $CP$ cortan a los lados $BC$, $CA$, $AB$ (o a sus extensiones) en $D$, $E$, $F$, respectivamente. Suponga además que las áreas de los triángulos $PBD$, $PCE$, $PAF$ son todas iguales. Demuestre que cada una de estas áreas es igual al área del propio triángulo $ABC$.

8 Los polinomios $k_n(x_1, \ldots, x_n)$, donde $n$ es un entero no negativo, satisfacen las siguientes condiciones: \[k_0=1\] \[k_1(x_1)=x_1\] \[k_n(x_1, \ldots, x_n) = x_nk_{n-1}(x_1, \ldots , x_{n-1}) + (x_n^2+x_{n-1}^2)k_{n-2}(x_1,\ldots,x_{n-2})\] Demuestre que para cada $n$ no negativo se tiene $k_n(x_1,\ldots,x_n)=k_n(x_n,\ldots,x_1)$.

2 El precio por enviar un paquete (un cuboide rectangular) es directamente proporcional a la suma de su largo, ancho y alto. ¿Es posible reducir el costo de enviar un paquete introduciéndolo en un paquete más barato?

1 La policía quiere arrestar a uno de los criminales más famosos del país, cuyo nombre es Kaiser. Kaiser se encuentra en una de las calles de una ciudad con forma cuadrada que tiene $n$ calles verticales y $n$ calles horizontales. En los siguientes casos, ¿cuántos oficiales de policía se necesitan para arrestar a Kaiser? //cdn.artofproblemsolving.com/images/11140c24e660a067a6665bc14dc7e6f485aeadd6.gif //cdn.artofproblemsolving.com/images/c0f5250d7d372315b41b50e2b31ad1fb5e43702a.gif a) Cada oficial de policía tiene la misma velocidad que Kaiser y cada oficial de policía conoce la ubicación de Kaiser en todo momento. b) Kaiser tiene una velocidad infinita (finita pero sin límite) y los oficiales de policía solo pueden saber dónde está cuando uno de ellos ve a Kaiser. Todos en este problema (incluyendo a los oficiales de policía y a Kaiser) se mueven de forma continua y pueden detenerse o cambiar su trayectoria. Omid

8 Se dice que un entero positivo $n$ es una potencia perfecta si $n=a^b$ para algunos enteros $a,b$ con $b>1$. $(\text{a})$ Encuentre $2004$ potencias perfectas en progresión aritmética. $(\text{b})$ Demuestre que las potencias perfectas no pueden formar una progresión aritmética infinita.

3 Encuentre todos los números reales $x,y,z$ tales que \[\left\{\begin{array}{c}x+y+zx=\frac12\\ \\ y+z+xy=\frac12\\ \\ z+x+yz=\frac12\end{array}\right.\] Omid

10 Sea $ T$ el conjunto de todas las ternas ordenadas $ (p,q,r)$ de enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f: T \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; pqr = 0, \\ 1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) & \\ + f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) & \\ + f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{en otro caso} \end{cases} \] para todos los enteros no negativos $ p$ , $ q$ , $ r$ .

16 La función $f:\mathbb Z \to \mathbb Z$ tiene la propiedad de que para todos los enteros $m$ y $n$ \[f(m)+f(n)+f(f(m^2+n^2))=1.\] Sabemos que existen enteros $a$ y $b$ tales que $f(a)-f(b)=3$. Demuestre que se pueden encontrar enteros $c$ y $d$ tales que $f(c)-f(d)=1$. Propuesto por Amirhossein Gorzi Ali.Kh