1 Encuentre todos los pares (x; y) de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones $x^3 + 1 - xy^2 - y^2 = 0$ ; $y^3 - 1 - x^2y + x^2 = 0$ . Darij darij

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $\omega$. Sean $I_{1},I_{2}$ y $r_{1},r_{2}$ los incentros y los radios de los incírculos de los triángulos $ACD$ y $ABC$, respectivamente. Suponga que $r_{1}=r_{2}$. Sea $\omega'$ un círculo que es tangente a $AB, AD$ y que es tangente a $\omega$ en $T$. Las tangentes desde $A$ y $T$ a $\omega$ se cortan en el punto $K$. Demuestre que $I_{1},I_{2},K$ están alineados.

3 Encuentre todos los números reales $x,y,z$ tales que \[\left\{\begin{array}{c}x+y+zx=\frac12\\ \\ y+z+xy=\frac12\\ \\ z+x+yz=\frac12\end{array}\right.\] Omid

6 $P,Q,R$ son polinomios no nulos tales que para cada $z\in\mathbb C$ , $P(z)Q(\bar z)=R(z)$ . a) Si $P,Q,R\in\mathbb R[x]$ , demuestre que $Q$ es un polinomio constante. b) ¿Es la afirmación anterior correcta para $P,Q,R\in\mathbb C[x]$ ? Omid

2020.1.1 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sea $T$ su baricentro. Sea $D$ el punto medio del lado $BC$. Sea $E \ne D$ el punto de intersección de un círculo con centro en $T$ y radio $TD$ con la recta $BC$, y sea $F \ne D$ un punto de intersección de este círculo con la recta $AD$. Sea $X$ un punto tal que $FTEX$ es un paralelogramo. Demuestre que las rectas $AX$ y $BC$ son perpendiculares.

2-Se da un trapecio $ ABCD$ . Tenemos las siguientes propiedades: $ AD||BC,DA = DB = DC,\angle BCD = 72^\circ$ . Se toma un punto $ K$ en $ BD$ tal que $ AD = AK,K \neq D$ . Sea $ M$ el punto medio de $ CD$ . $ AM$ corta a $ BD$ en $ N$ . Demuestre que $ BK = ND$ .

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe un número $z$ de $n$ dígitos tal que ninguno de sus dígitos es $0$ y $z$ es divisible por la suma de sus dígitos.

6 La esfera inscrita y la esfera exinscrita opuesta al vértice $D$ de un tetraedro $ABCD$ (no necesariamente regular) tocan la cara $ABC$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestre que $\measuredangle XAB=\measuredangle CAY$.

5 5-Se dan en el plano dos círculos $ S_1$ y $ S_2$ con radios iguales que se cortan en dos puntos. Una recta $ l$ corta a $ S_1$ en $ B,D$ y a $ S_2$ en $ A,C$ (el orden de los puntos en la recta es el siguiente: $ A,B,C,D$). Se dibujan dos círculos $ W_1$ y $ W_2$ tales que ambos son tangentes externamente a $ S_1$ e internamente a $ S_2$, y además son tangentes a $ l$ por ambos lados. Suponga que $ W_1$ y $ W_2$ son tangentes. Entonces, DEMUESTRE que $ AB = CD$.

1 Encuentre todos los números reales $a,b$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{align*} 2a^2 -2ab+b^2 &=a\\ 4a^2 -5ab +2b^2 & =b. \end{align*}