5 Sea $k$ un entero positivo y $r_n$ el resto cuando ${2 n} \choose {n}$ se divide por $k$. Encuentre todos los $k$ para los cuales la sucesión $(r_n)_{n=1}^{\infty}$ es eventualmente periódica.

2 Demuestre que para cualquier $ n $ impar existe un único polinomio $ P(x) $ de grado $ n $ que satisface la ecuación $ P \left( x - \frac{1}{x} \right) = x^n - \frac{1}{x^n} $. ¿Es esto cierto para cualquier número natural $ n $?

29 El incírculo del triángulo $ ABC$ es tangente a $ AB,AC$ en $ P,Q$ . $ BI, CI$ intersecan a $ PQ$ en $ K,L$ . Demuestre que el circuncírculo de $ ILK$ es tangente al incírculo de $ ABC$ si y solo si $ AB+AC=3BC$ . Omid

1 Dos círculos $k_1(O_1,R)$ y $k_2(O_2,r)$ están dados en el plano tales que $R \ge \sqrt2 r$ y $$O_1O_2 =\sqrt{R^2 +r^2 - r\sqrt{4R^2 +r^2}}.$$ Sea $A$ un punto arbitrario en $k_1$. Las tangentes desde $A$ a $k_2$ tocan a $k_2$ en $B$ y $C$ e intersecan a $k_1$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestre que $BD \cdot CE = r^2$.

10 Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ una función inyectiva y sobreyectiva. La distancia entre $X$ e $Y$ no es menor que la distancia entre $f(X)$ y $f(Y)$. Demuestre que para todo conjunto $A$ en el plano: \[ S(A) \geq S(f(A))\] donde $S(A)$ es el área de $A$. Omid

24 Sean $A, B, C$ puntos en el círculo $\mathcal C$. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y $D$ el punto medio del arco $BAC$. Sea $W$ un círculo que es tangente a $AB$ y $AC$, y tangente a $\mathcal C$ en $P$ (donde $W$ está contenido en $\mathcal C$). Demuestre que $P$, $I$ y $D$ son colineales. Omid

4 Existen dos puntos $A$ y $B$ en el plano. a) Determine el conjunto $M$ de todos los puntos $C$ en el plano para los cuales $|AC|^2 +|BC|^2 = 2\cdot|AB|^2.$ b) Decida si existe un punto $C\in M$ tal que $\angle ACB$ sea máximo y, en caso afirmativo, determine dicho ángulo.

7 Dados dos círculos distintos que se tocan internamente, demuestre cómo construir un triángulo que tenga al círculo interior como su incírculo y al círculo exterior como su círculo de los nueve puntos.

2008.4 Dado un paralelogramo $ABCD$ y un punto $M_0$ en el plano. Utilizando la rotación $$R_{A}^{90^\circ}(M_0)=M_1,\quad R_{B}^{90^\circ}(M_1)=M_2,\quad R_{C}^{90^\circ}(M_2)=M_3,\quad R_{D}^{90^\circ}(M_3)=M_4,\ldots$$ y así sucesivamente, determine la sucesión de puntos $\{M_1,M_2,\ldots\}$. Demuestre que $ABCD$ es un cuadrado si $M_0=M_{2008}$.

4 Dado un número real positivo $a_1$, definimos recursivamente $a_{n+1} = 1+a_1 a_2 \cdots \cdot a_n.$ Además, sea $$b_n = \frac{1}{a_1 } + \frac{1}{a_2 } +\cdots + \frac{1}{a_n }.$$ Demuestre que $b_n < \frac{2}{a_1}$ para todo entero positivo $n$ y que esta es la cota más pequeña posible.