2 Sea $PQ$ el diámetro del semicírculo $H$. El círculo $O$ es tangente internamente a $H$ y tangente a $PQ$ en $C$. Sea $A$ un punto en $H$ y $B$ un punto en $PQ$ tales que $AB\perp PQ$ y es tangente a $O$. Demuestre que $AC$ biseca $\angle PAB$.

4 Encuentre todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $m^3 -n^3 - 9mn = 27$.

5 Sea $n$ un entero positivo impar y sean $x_1,x_2,...,x_n$ $n$ números reales distintos que satisfacen $|x_i -x_j| \le 1$ para $1 \le i < j \le n$. Demuestre que $$\sum_{i<j} |x_i -x_j| \le \left[\frac{n}{2} \right] \left(\left[\frac{n}{2} \right]-1 \right)$$

17 Sea $p=4k+1$ un número primo. Demuestre que $p$ tiene al menos $\frac{\phi(p-1)}2$ raíces primitivas. Omid

3 Sea $n?$ el producto de todos los números primos menores que $n$. Demuestre que $n? > n$ se cumple para cualquier número natural $n > 3$.

Suponga que $X$ es un conjunto de $n$ números y $0\leq k\leq n$. El número máximo de permutaciones que actúan sobre $X$ tales que cualesquiera dos de ellas tienen al menos $k$ componentes en común es $a_{n,k}$, y el número máximo de permutaciones tales que cualesquiera dos de ellas tienen a lo sumo $k$ componentes en común es $b_{n,k}$. a) Demuestre que: $a_{n,k}\cdot b_{n,k-1}\leq n!$ b) Suponga que $p$ es un número primo, determine el valor exacto de $a_{p,2}$.

5 Sean $a, b, c$ números reales tales que $a \ge b \ge c > 0$. Demuestre que $$\frac{a^2-b^2}{c}+ \frac{c^2-b^2}{a}+ \frac{a^2-c^2}{b}\ge 3a - 4b + c.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Siete enanos viven en una casa y cada uno tiene su propio sombrero. Una mañana, dos enanos intercambiaron sus sombreros inadvertidamente. En cualquier momento, tres enanos cualesquiera pueden sentarse a la mesa redonda e intercambiar sus sombreros en el sentido de las agujas del reloj. ¿Es posible que para la noche todos los enanos tengan sus propios sombreros?

3 El círculo inscrito en el triángulo $ ABC $ , con centro $O$ , toca los lados $ AB $ y $ BC $ en los puntos $ C_1 $ y $ A_1 $ , respectivamente. Las rectas $ CO $ y $ AO $ intersecan a la recta $ C_1A_1 $ en los puntos $ K $ y $ L $ . $ M $ es el punto medio de $ AC $ y $ \angle ABC = 60^\circ $ . Demuestre que $ KLM $ es un triángulo equilátero.

14 Sea $p$ un primo impar y sea $a$ un entero no divisible por $p$. Demuestre que existen $p^2+1$ ternas de enteros $(x,y,z)$ con $0 \le x,y,z < p$ tales que $(x+y+z)^2 \equiv axyz \pmod p$.