Extendamos ligeramente el problema (algunas de las condiciones son innecesarias): Problema. Sea G el baricentro de un triángulo ABC, y sean D y F los puntos medios de sus lados BC y AB. (a) Sea P un punto tal que el cuadrilátero AGCP es un paralelogramo. Demuestre que este punto P se encuentra sobre la recta BG. (b) Suponga que los puntos B, D, G y F son concíclicos. Demuestre que los triángulos ABC y GAP son semejantes. (c) Si los puntos B, D, G y F son concíclicos y el ángulo C del triángulo ABC es obtuso, entonces demuestre que $\frac{b}{a}>\sqrt2$ . Solución. (a) Hemos denotado por D y F los puntos medios de los lados BC y AB del triángulo ABC; ahora denotemos por E el punto medio del lado CA. Los segmentos AD, BE y CF son las medianas del triángulo ABC y, por lo tanto, concurren en su baricentro G. Dado que el cuadrilátero AGCP es un paralelogramo, sus diagonales GP y CA se bisecan mutuamente. En otras palabras, el punto medio del segmento GP es el punto medio del segmento CA, es decir, el punto E. Por lo tanto, el punto P se encuentra sobre la recta GE, es decir, sobre la recta BG. Así, el problema (a) está resuelto. (b) Persecución de ángulos pura: Dado que los puntos B, D, G y F son concíclicos, < BGD = < BFD. Dado que los puntos F y D son los puntos medios de los lados AB y BC del triángulo ABC, tenemos FD || CA, y por lo tanto < BFD = < BAC. Así, < AGP = < BGD = < BFD = < BAC. Dado que el cuadrilátero AGCP es un paralelogramo, AP || CG, de modo que < APG = < CGP. Por otro lado, dado que los puntos B, D, G y F son concíclicos, < BGF = < BDF, y dado que FD || CA, tenemos < BDF = < BCA. Así, < APG = < CGP = < BGF = < BDF = < BCA. Ahora, de < AGP = < BAC y < APG = < BCA, se sigue que los triángulos ABC y GAP son semejantes. Esto resuelve el problema (b). (c) Dado que los puntos B, D, G y F son concíclicos, el teorema de la potencia de un punto (o cuerdas que se cortan) resulta en $CG\cdot CF=CD\cdot CB$ . Ahora, dado que D es el punto medio del lado BC del triángulo ABC, tenemos $CD=\frac12\cdot CB$ . Dado que G es el baricentro del triángulo ABC, y el baricentro de un triángulo divide las medianas del triángulo en una razón 2 : 1, tenemos $CG=\frac23\cdot CF$ . Por lo tanto, $CG\cdot CF=CD\cdot CB$ se convierte en $\left(\frac23\cdot CF\right)\cdot CF=\left(\frac12\cdot CB\right)\cdot CB$ . En otras palabras, $\frac23\cdot CF^2=\frac12\cdot CB^2$ ; equivalentemente, $4\cdot CF^2=3\cdot CB^2$ . Pero el segmento CF es la mediana C del triángulo ABC, y por lo tanto, por la conocida fórmula para la longitud de una mediana en un triángulo, $4\cdot CF^2=2a^2+2b^2-c^2$ . Por lo tanto, esto se convierte en $2a^2+2b^2-c^2=3\cdot CB^2$ ; en otras palabras, $2a^2+2b^2-c^2=3a^2$ . Esto se simplifica a $2b^2=c^2+a^2$ . Ahora, dado que el ángulo C del triángulo ABC es obtuso, $c^2>a^2+b^2$ . Por lo tanto, $2b^2=c^2+a^2>\left(a^2+b^2\right)+a^2$ . La resta de $b^2$ resulta en $b^2>2a^2$ , de modo que $\frac{b^2}{a^2}>2$ . Tomando la raíz cuadrada, obtenemos $\frac{b}{a}>\sqrt2$ . Por lo tanto, el problema (c) está resuelto. darij

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