18 Demuestre que para todo $ n$ , existe un subconjunto $ \{a_1,\dots,a_n\}$ de $ \mathbb N$ tal que para cada subconjunto $ S$ de $ \{1,\dots,n\}$ , $ \sum_{i\in S}a_i$ tiene el mismo conjunto de divisores primos. Omid

19 Encuentre todas las soluciones enteras de $ p^3=p^2+q^2+r^2$ donde $ p,q,r$ son números primos. Omid

23 $ \mathcal F$ es una familia de subconjuntos de 3 elementos de un conjunto $ X$ . Cada dos elementos distintos de $ X$ están exactamente en $ k$ elementos de $ \mathcal F$ . Se sabe que existe una partición de $ \mathcal F$ en conjuntos $ X_1,X_2$ tal que cada elemento de $ \mathcal F$ tiene una intersección no vacía con ambos $ X_1,X_2$ . Demuestre que $ |X|\leq4$ . Omid

1 Dos círculos $k_1(O_1,R)$ y $k_2(O_2,r)$ están dados en el plano tales que $R \ge \sqrt2 r$ y $$O_1O_2 =\sqrt{R^2 +r^2 - r\sqrt{4R^2 +r^2}}.$$ Sea $A$ un punto arbitrario en $k_1$. Las tangentes desde $A$ a $k_2$ tocan a $k_2$ en $B$ y $C$ e intersecan a $k_1$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestre que $BD \cdot CE = r^2$.

26 Se dan un número finito de puntos en la superficie de una esfera, tales que cualesquiera cuatro de ellos yacen en la superficie de un hemisferio abierto. Demuestre que todos los puntos yacen en la superficie de un hemisferio abierto. Omid

3 Si $k$ y $n$ son enteros positivos, demuestre la desigualdad $$\frac{1}{kn} +\frac{1}{kn+1} +...+\frac{1}{(k+1)n-1} \ge n \left(\sqrt[n]{\frac{k+1}{k}}-1\right)$$

29 El incírculo del triángulo $ ABC$ es tangente a $ AB,AC$ en $ P,Q$ . $ BI, CI$ intersecan a $ PQ$ en $ K,L$ . Demuestre que el circuncírculo de $ ILK$ es tangente al incírculo de $ ABC$ si y solo si $ AB+AC=3BC$ . Omid

Sea $n \geq 6$ un entero. Determine el mínimo de $f(n)$ tal que cualquier grafo con $n$ vértices y $f(n)$ aristas contenga dos ciclos que sean distintos (además, que no tengan ningún vértice en común).

Siete enanos viven en una casa y cada uno tiene su propio sombrero. Una mañana, dos enanos intercambiaron sus sombreros inadvertidamente. En cualquier momento, tres enanos cualesquiera pueden sentarse a la mesa redonda e intercambiar sus sombreros en el sentido de las agujas del reloj. ¿Es posible que para la noche todos los enanos tengan sus propios sombreros?

4 Sean $a,b$ números reales positivos y $n\geq 2$ un entero positivo. Demuestre que si $x^n \leq ax+b$ se cumple para un número real positivo $x$, entonces también satisface la desigualdad $x < \sqrt[n-1]{2a} + \sqrt[n]{2b}.$