4 Sean $P_1, P_2, ..., P_n$ puntos distintos en el plano, $ n \ge 2$ . Demuestre que: $$\max_{ij}P_iP_j >\frac{\sqrt3}{2}(\sqrt{n}- 1) \cdot \min_{ij}P_iP_j \,\,\, (1 \le i < j \le n)$$

1 Sean $a, b, x_0$ tres números reales con $a < x_0 < b$; sea $I$ el intervalo de todos los números reales $x$ tales que $a < x < b$. Sea $f$ una función definida en $I$ que es diferenciable en el punto $x_0$. Además, sea $g$ la función definida en $I$ por $g(x) = |f(x)|$. Demuestre que, bajo estas condiciones, $g$ no es diferenciable en el punto $x_0$ si y solo si: $$f(x_0) = 0 \,\,\, \text{y} \,\,\,f'(x_0) \neq 0$$

3 Cuatro matemáticos T, D, S y P acuerdan realizar un juego de adivinanzas con las siguientes reglas: T piensa en una terna $(x, y, z)$ de enteros tal que $1 \le x \le y \le z$ y $x + y + z \le 10$. Luego, debe decirle a D el número $d = y - x$, a S el número $s = x + y + z$ y a P el número $p = xyz$, cada uno de tal manera que los otros dos no conozcan el valor del número dicho. Después, D, S y P deben discutir su información. Investigue si existe una terna $(x, y, z)$ con la cual, cuando se juega este juego (después de que $d$, $s$ y $p$ hayan dado su información), pueda tener lugar la siguiente conversación: P: "No puedo determinar unívocamente la terna $(x, y, z)$". S: "Ya lo sabía antes de que lo dijeras". P: "Ahora puedo determinar la terna". D: "Yo también". S: "Yo también ahora". Si existe tal terna, determine si ha sido determinada unívocamente a través de esta conversación. Si es así, ¡indique la terna!

4 (1) Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen $(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)$. Demuestre que $a,b,c$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente. (2) Sean $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $n$ ($n>3$) números reales positivos que satisfacen $(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^2>(n-1)(a_1^4+ a_2^4+\dots +a_n^4)$. Demuestre que cualesquiera tres de $a_1,a_2,\dots ,a_n$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente.

4 Sea $f(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$ un polinomio con coeficientes reales $a_0$ , $a_1$ , $...$ , $a_n$ , donde $n \ge 1$ y $a_n \ne 0$ . Defina $$r = \frac{|a_0| + |a_1| + ... + |a_{n-1}|}{|a_n|}$$ y demuestre que: a) Si $r \ge 1$ , entonces toda raíz real de $f(x)$ (si existe alguna) se encuentra en el intervalo $-r \le x \le r$ . b) Si $r \le 1$ , entonces toda raíz real de $f(x)$ (si existe alguna) se encuentra en el intervalo $-1 \le x\le 1$ .

5 Dados $1989$ puntos en el espacio, cualesquiera tres de ellos no son colineales. Dividimos estos puntos en $30$ grupos de tal manera que el número de puntos en estos grupos sea diferente entre sí. Considere aquellos triángulos cuyos vértices son puntos que pertenecen a tres grupos diferentes entre los $30$. Determine el número de puntos de cada grupo tal que el número de tales triángulos alcance un máximo.

14 Un rectángulo inscrito en un rectángulo mayor (con un vértice en cada lado) se denomina "despegado" si es posible rotar (aunque sea ligeramente) el rectángulo menor alrededor de su centro dentro de los límites del mayor. De todos los rectángulos que pueden inscribirse de forma despegada en un rectángulo de 6 por 8, el de menor perímetro tiene la forma $\sqrt{N}$, para un entero positivo $N$. Encuentre $N$.

1 Sea $A$ una matriz de $2\,x\,2$ con números reales. Demuestre que si $A^3=\mathbb{O}$ entonces $A^2=\mathbb{O}$.

6 Suponga que cada punto en el plano está coloreado de blanco o negro. Demuestre que existe un triángulo equilátero con longitud de lado igual a $1$ o $\sqrt{3}$ cuyos tres vértices son del mismo color.

5 Encuentre todas las funciones $f$ que están definidas para todos los números reales no nulos $x$ y que satisfacen las siguientes condiciones: (1) Para todo $x_1, x_2$ con $x_1 \ne 0$, $x_2 \ne 0$, $x_1 + x_2 \ne 0$, $$f\left(\frac{1}{x_1 + x_2}\right) = f\left(\frac{1}{x_1}\right) + f\left(\frac{1}{x_2}\right).$$ (2) Para todo $x_1$, $x_2$ con $x_1 \ne 0$, $x_2 \ne 0$, $x_1 + x_2 \ne 0$, $$(x_1 + x_2) \cdot f(x_1 + x_2) = x_1x_2 \cdot f(x_1) \cdot f(x_2).$$ (3) $f(1) = 1$.