6B En un cuarto oscuro, $20$ guantes individuales del mismo tamaño están dispuestos sin ningún orden en particular: $\bullet$ $5$ guantes blancos para la mano derecha $\bullet$ $5$ guantes blancos para la mano izquierda $\bullet$ $5$ guantes negros para la mano derecha $\bullet$ $5$ guantes negros para la mano izquierda Dos guantes se consideran un par coincidente si y solo si son del mismo color y uno es para la mano derecha y el otro para la mano izquierda. Un movimiento se define como la extracción de un solo guante, sin la posibilidad de seleccionar por color o forma. Un juego de $n$ movimientos consiste en realizar $n$ movimientos sucesivamente, recolectando los guantes extraídos, y solo después de estos $n$ movimientos determinar si (al menos) un par coincidente se encuentra entre los guantes extraídos. El juego se considera exitoso si y solo si este es el caso. a) Determine el número natural $n$ más pequeño con la propiedad de que un juego de $n$ movimientos está garantizado a ser exitoso. b) Determine el número natural $k$ más pequeño con la propiedad de que un juego de $k$ movimientos tiene una probabilidad de ser exitoso mayor a $0.99$.

5 Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ números reales. Para un proceso técnico sin perturbaciones, sea $$x_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n \,\,\, (1)$$ la medida de una cantidad que depende de $a_1, a_2, ..., a_n$. Para un proceso técnico con perturbaciones, sea la medida de esta cantidad $$x_2 = \frac{a_1}{1 + \varepsilon_1}+ \frac{a_2}{1 + \varepsilon_2}+ ... + \frac{a_n}{1 + \varepsilon_n} \,\,\, (2)$$ Aquí, $\varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_n$ son números reales para los cuales existe un número natural $m \ge 1$ tal que para todo $\mu = 1, 2, ..., n$ se cumple la desigualdad $|\varepsilon_{\mu}| \le 10^{-m}$ (3). Demuestre que a partir de estas condiciones (1), (2), (3) se cumple la desigualdad $$|x_2- x_1| \le \frac{1}{10^m -1}(|a_1| + |a_2| + ... + |a_n|)$$

1 Sea $n$ un número natural. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la ecuación $z^{n+1}-z^n-1=0$ tenga una raíz compleja cuyo módulo sea igual a $1$ es que $n+2$ sea divisible por $6$.

2 Sea $x$ un número natural. Llamamos $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ un enlace de factores de $x$ si la sucesión $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ satisface las siguientes condiciones: (1) $x_0=1, x_l=x$ ; (2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$. Mientras tanto, definimos $l$ como la longitud del enlace de factores $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$. Denotemos por $L(x)$ y $R(x)$ la longitud y el número de enlaces de factores más largos de $x$, respectivamente. Para $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$, donde $k,m,n$ son números naturales, encuentre el valor de $L(x)$ y $R(x)$.

4 (1) Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen $(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)$. Demuestre que $a,b,c$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente. (2) Sean $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $n$ ($n>3$) números reales positivos que satisfacen $(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^2>(n-1)(a_1^4+ a_2^4+\dots +a_n^4)$. Demuestre que cualesquiera tres de $a_1,a_2,\dots ,a_n$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente.

5 Suponga que el circunradio $R$ y el inradio $r$ de un triángulo $ABC$ satisfacen $R = 2r$. Demuestre que el triángulo es equilátero.

10 La fórmula de Euler establece que para un poliedro convexo con $V$ vértices, $E$ aristas y $F$ caras, $V - E + F = 2$. Un poliedro convexo particular tiene 32 caras, cada una de las cuales es un triángulo o un pentágono. En cada uno de sus $V$ vértices, concurren $T$ caras triangulares y $P$ caras pentagonales. ¿Cuál es el valor de $100P + 10T + V$?

3 En el interior de un lago hay dos puntos $A, B$ desde los cuales se puede ver cualquier otro punto del lago. Demuestre que también desde cualquier otro punto del segmento $AB$, se pueden ver todos los puntos del lago.

1997 Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el incentro. Sean $N$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CA$ respectivamente. Las rectas $BI$ y $CI$ cortan a $MN$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demuestre que $AI+BI+CI>BC+KL$. Grecia Iris

3 Sean $Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$ números complejos que satisfacen $|Z_1|+|Z_2|+\cdots +|Z_n|=1$. Demuestre que existen algunos entre los $n$ números complejos tales que el módulo de la suma de estos números complejos no es menor que $1/6$.