4 Demuestre que para todos los enteros positivos $m, n$ con $m > n$, la suma $s(m, n)$ definida por $$s(m, n) = \sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}|i-j|$$ tiene el valor: $$s(m, n) = \frac13(n- 1)n(n + 1) +\frac12mn(m - n)$$

3 a) Sea $P_1P_2...P_n$ cualquier $n$-ágono convexo plano $E$ en un plano. Demuestre la siguiente afirmación: Si los puntos $Q_1, ..., Q_n$ están ubicados en el interior o en la frontera de $E$ de tal manera que $Q_1, ..., Q_n$ es un $n$-ágono congruente a $E$, entonces cada punto $Q_i$ ($i = 1, 2, ..., n$) es un vértice de $E$. (1) b) ¿Existen $n$-ágonos no convexos $E$ para los cuales la afirmación (1) sea falsa?

7 Un cuadrado de lado $10^6$, al cual se le ha recortado un cuadrado en una esquina de lado $10^{-3}$, está particionado en $10$ rectángulos. Demuestre que al menos uno de estos rectángulos tiene una razón entre su lado mayor y su lado menor de al menos $9$.

6 Un balón de fútbol está cubierto por varias piezas poligonales de cuero que están cosidas con hilos de tres colores diferentes. Se caracteriza de la siguiente manera: i) cualquier lado de una pieza poligonal de cuero está cosido con un lado de igual longitud de otra pieza poligonal de cuero mediante un hilo de un color determinado; ii) cada nodo en el balón es vértice de exactamente tres polígonos, y los tres hilos que se unen en el nodo son de colores diferentes. Demuestre que podemos asignar a cada nodo en el balón un número complejo (distinto de $1$), tal que el producto de los números asignados a los vértices de cualquier cara poligonal sea igual a $1$.

3 a) Enumere todas las formas en las que un área triangular dada $D$ puede dividirse en tres áreas triangulares $D_1$, $D_2$, $D_3$. b) Demuestre que si un área triangular $D$ puede dividirse en tres áreas triangulares semejantes $D_1$, $D_2$, $D_3$, entonces es isósceles o rectángulo.

5 Suponga que el circunradio $R$ y el inradio $r$ de un triángulo $ABC$ satisfacen $R = 2r$. Demuestre que el triángulo es equilátero.

2 En el estado de Wegedonien, existe una red de carreteras. En cada intersección y cruce de carreteras de esta red, hay un puesto de control de tráfico. La longitud de cada segmento de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes es menor que $100$ km. Se puede llegar a cada puesto de control de tráfico desde cualquier otro mediante una ruta total dentro de la red que es menor que $100$ km. Además, para cada segmento de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes: si ese segmento de carretera específico está bloqueado, todavía se puede llegar a cada puesto de control de tráfico desde cualquier otro mediante una ruta total que consiste únicamente en segmentos de carretera no bloqueados en la red. Demuestre que esto se puede hacer en una ruta menor que $300$ km.

6B a) Sea M el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de números reales para las cuales se satisfacen las siguientes desigualdades (1) a (5): $$55x + z \le 54 \,\,\,(1)$$ $$55y + z \le 54 \,\,\,(2)$$ $$55x - 4z \ge 4 \,\,\, (3)$$ $$55y - 4z \ge 4 \,\,\,(4)$$ $$z \ge -1 \,\,\,(5)$$ Investigue si para la expresión $$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \,\,\, (6)$$ existe una terna $(x_0, y_0, z_0) \in M$ tal que para todas las ternas $(x, y, z) \in M$, se cumple la desigualdad $$f(x_0, y_0, z_0) \ge f(x, y, z)$$ Si este es el caso, determine $f(x_0, y_0, z_0)$. b) Sea $M'$ el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de enteros para las cuales se satisfacen las desigualdades (1) a (5). Investigue si para la expresión (6) existe una terna $(x_1, y_1, z_1) \in M'$ con la propiedad de que para todas las ternas $(x, y, z) \in M'$ se cumple la desigualdad $$f(x_1, y_1, z_1) \ge f(x, y, z)$$ Si este es el caso, determine $f(x_1, y_1, z_1)$.

1 Determine todos los enteros $a$ con la propiedad de que para los polinomios $$f(x) = x^{12} - x^{11} + 3x^{10} + 11x^3 - x^2 + 23x + 30$$ $$g(x) = x^3 + 2x + a$$ existe un polinomio $h(x)$ tal que para todo $x$ real se cumple la ecuación $f(x) = g(x)\cdot h(x)$.

13 Jenny y Kenny caminan en la misma dirección, Kenny a 3 pies por segundo y Jenny a 1 pie por segundo, en caminos paralelos que están separados por 200 pies. Un edificio circular alto de 100 pies de diámetro está centrado a mitad de camino entre las trayectorias. En el instante en que el edificio bloquea por primera vez la línea de visión entre Jenny y Kenny, ellos están a 200 pies de distancia. Sea $t$ la cantidad de tiempo, en segundos, antes de que Jenny y Kenny puedan verse de nuevo. Si $t$ se escribe como una fracción en términos mínimos, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?