6 La suma de $m$ números pares positivos distintos entre sí y $n$ números impares positivos distintos entre sí es igual a $1987$. Encuentre, con demostración, el valor máximo de $3m+4n$.

1 Sea $(x_n)$ la sucesión de números reales para la cual $x_1 = 1$ y se cumple lo siguiente: $$x_{n+1} = \frac{4x_n^2 + 1}{5x_n + 1} \,\,\, (n = 1, 2, 3, ...)$$ Investigue si esta sucesión es convergente y, en caso afirmativo, determine su límite.

2 En el $\triangle ABC$, la longitud de la altura $AD$ es $12$, y la bisectriz $AE$ del $\angle A$ es $13$. Denotamos por $m$ la longitud de la mediana $AF$. Encuentre el rango de $m$ cuando el $\angle A$ es agudo, recto y obtuso, respectivamente.

1998 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=AE=CD=1$, $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ y $BC+DE=1$. Calcule el área del pentágono. Grecia

2 a) Demuestre que existe un conjunto $M$ con las siguientes propiedades (1), (2), (3), (4): (1) Todo elemento de $M$ es un número natural. (2) El elemento más pequeño de $M$ es el número $1$. (3) El elemento más grande de $M$ es el número $100$. (4) Todo elemento de $M$, excepto el número $1$, es la suma de dos elementos cualesquiera de $M$ o el doble de un elemento de $M$. b) Encuentre un conjunto $M$ que satisfaga las condiciones (1), (2), (3), (4) y que tenga la menor cantidad de elementos posible. Demuestre que el conjunto $M$ encontrado satisface estos requisitos.

2 Dados dos círculos $C_1,C_2$ con centro común, el radio de $C_2$ es el doble del radio de $C_1$. El cuadrilátero $A_1A_2A_3A_4$ está inscrito en $C_1$. La extensión de $A_4A_1$ corta a $C_2$ en $B_1$; la extensión de $A_1A_2$ corta a $C_2$ en $B_2$; la extensión de $A_2A_3$ corta a $C_2$ en $B_3$; la extensión de $A_3A_4$ corta a $C_2$ en $B_4$. Demuestre que $P(B_1B_2B_3B_4)\ge 2P(A_1A_2A_3A_4)$, ¿y en qué caso se cumple la igualdad? ($P(X)$ denota el perímetro del cuadrilátero $X$)

6B Una novela utópica narra la historia de un autor que vive indefinidamente. Cada día escribe un texto que llena al menos una hoja de papel, y si comienza más hojas ese día, llena cada una de esas hojas también en el mismo día. A lo largo de cada año, llena un cierto número de hojas de esta manera; estos números pueden variar de un año a otro, pero en ningún año este número excede $730$. Demuestre que: En la vida de este autor, para todo entero positivo $n$, existe un período de días consecutivos en el cual el autor llena exactamente $n$ hojas. Nota: Se asume que la regla actualmente vigente se mantiene indefinidamente, según la cual cada período de ocho años siempre contiene al menos un año bisiesto con $366$ días, mientras que cada año no bisiesto consta de $365$ días.

3 ¿De cuántas maneras podemos construir un cuadrado de dimensiones $4\times 4$ usando $4$ cuadrados blancos, $4$ verdes, $4$ rojos y $4$ azules de dimensiones $1\times 1$, de tal manera que en cada línea horizontal y en cada línea vertical, los cuadrados tengan colores diferentes?

5 Suponga que el circunradio $R$ y el inradio $r$ de un triángulo $ABC$ satisfacen $R = 2r$. Demuestre que el triángulo es equilátero.

3 a) Enumere todas las formas en las que un área triangular dada $D$ puede dividirse en tres áreas triangulares $D_1$, $D_2$, $D_3$. b) Demuestre que si un área triangular $D$ puede dividirse en tres áreas triangulares semejantes $D_1$, $D_2$, $D_3$, entonces es isósceles o rectángulo.