4 Sea $f$ la función cuyo dominio es el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de números reales no negativos $x, y, z$ tales que $x + y + z = \pi$, y que asigna a cada una de dichas ternas el número $$f(x, y, z) = \sin^2x + \sin^2y + \sin^2 z.$$ Determine el rango de la función $f$ y demuestre que todo valor en este rango es alcanzado.

558 Demuestre que $x^4 + y^4 + z^2\ge xyz \sqrt8$ para todos los números reales positivos $x, y, z$.

541 Un investigador calcula que necesita hacer como máximo $91$ preguntas bajo la premisa de que todas las respuestas serán sí o no y todas serán verdaderas. Las preguntas pueden depender de las respuestas anteriores. Demuestre que puede arreglárselas con $105$ preguntas si, como máximo, una respuesta podría ser mentira.

559 $E$ es un punto en la diagonal $BD$ del cuadrado $ABCD$. Demuestre que los puntos $A, E$ y los circuncentros de $ABE$ y $ADE$ forman un cuadrado.

6 Sea $n$ un entero positivo, $h$ un número real y $f(x)$ un polinomio (función racional entera) con coeficientes reales de grado $n$, el cual no tiene ceros reales. Demuestre que entonces el polinomio $$F(x) = f(x) + h f'(x) + h^2 f''(x) +... + h^n f^{(n)}(x)$$ tampoco tiene ceros reales.

578 Un triángulo equilátero de lado $10$ se divide en $100$ triángulos equiláteros de lado $1$ mediante líneas paralelas a sus lados. Hay $m$ baldosas equiláteras de $4$ triángulos unitarios y $25 - m$ baldosas rectas de $4$ triángulos unitarios (como se muestra a continuación). ¿Para qué valores de $m$ pueden utilizarse para cubrir el triángulo original? [Las baldosas rectas pueden voltearse.]

5 Determine el número de todos los pares $(p, q)$ de números naturales con $1 \le p \le 100$ y $1 \le q \le 100$ con la propiedad de que la ecuación $x^5 + px + q = 0$ tiene al menos una solución racional.

5 Es bien sabido que para todo número natural $n$, un plano es dividido en exactamente $\frac12 (n^2 + n + 2)$ partes por $n$ rectas, de las cuales no hay tres que pasen por el mismo punto y no hay dos que sean paralelas. Determine, para todo número natural $n$, el número de partes en las que el espacio es dividido por $n$ planos, de los cuales no hay cuatro que pasen por el mismo punto, no hay tres que tengan rectas de intersección paralelas o coincidentes, y no hay dos que sean paralelos.

4 Determine todas las cuádruplas ordenadas de números reales $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ para las cuales se cumple el siguiente sistema de ecuaciones: $$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_4 = 2$$ $$x_1x_2 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3 = 2$$ $$x_1x_3 + x_1x_4 + x_3x_4 + x_2 = 2$$ $$x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 + x_1 = 2$$

5 Sea $A_0A_1...A_n$ ( $n > 2$ ) un polígono convexo plano de longitud $s$ con $A_0 \ne A_n$ . Sean los puntos $A_1$ , $ ...$ , $A_{n-1}$ situados en el mismo lado de la recta $g$ que pasa por $A_0$ y $A_n$ . Debe demostrarse que el área $F$ de la superficie resultante de la rotación del polígono alrededor de $g$ no es mayor que $\pi \frac{s^2}{2}$ , es decir, que se cumple $$F \le \pi \frac{s^2}{2}$$ Nota: Un polígono plano $A_0A_1...A_n$ se denomina convexo si el polígono encerrado por el segmento $A_0A_n$ delimita una superficie convexa.